Касательная к окружности (задачи).

Задача. Дана окружность с центром 𝑂

 и радиусом 𝑅. Из точки 𝐴, находящейся вне окружности, проведены две касательные к окружности, касающиеся её в точках 𝐵 и 𝐶. Доказать, что отрезки 𝐴𝐵

 и 𝐴𝐶 равны.

Решение:

1. Построение и обозначения:

- Нарисуем окружность с центром 𝑂

 и радиусом 𝑅.

- Обозначим точку 𝐴 вне окружности.

- Проведем из точки 𝐴 две касательные к окружности, которые касаются её в точках 𝐵 и 𝐶.

2.  Свойства касательных:

- Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, 𝑂𝐵⊥𝐴𝐵 и 𝑂𝐶⊥𝐴𝐶.

3. Треугольники 𝑂𝐴𝐵 и 𝑂𝐴𝐶:

- Рассмотрим треугольники 𝑂𝐴𝐵 и 𝑂𝐴𝐶.

- В этих треугольниках 𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑅 (радиусы окружности).

- Углы 𝑂𝐵𝐴 и 𝑂𝐶𝐴 прямые (по свойству касательной). 

4. Равенство треугольников:

- В треугольниках 𝑂𝐴𝐵 и 𝑂𝐴𝐶 у нас есть:

𝑂𝐵=𝑂𝐶 (радиусы окружности), ∠𝑂𝐵𝐴=∠𝑂𝐶𝐴=90∘ (углы между радиусами и касательными), 𝑂𝐴

 — общая сторона.

- По теореме о равенстве прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе), треугольники 𝑂𝐴𝐵 и 𝑂𝐴𝐶 равны.

5. Равенство отрезков 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶:

- Из равенства треугольников 𝑂𝐴𝐵 и 𝑂𝐴𝐶

 следует, что соответствующие стороны этих треугольников равны.

- Следовательно, 𝐴𝐵=𝐴𝐶.

Мы доказали, что отрезки 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶

 равны, используя свойства касательных и равенство прямоугольных треугольников.

Пример. Предположим, радиус окружности 𝑅=5 см, а расстояние от точки 𝐴 до центра окружности 𝑂 равно 13 см. Найдем длину отрезков 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶.

1. Используем теорему Пифагора:

- В треугольнике 𝑂𝐴𝐵 𝑂𝐴=13 см, 𝑂𝐵=5 см. - 𝐴𝐵 — касательная, перпендикулярная радиусу 𝑂𝐵.

2. Вычисление длины 𝐴𝐵:

- По теореме Пифагора в треугольнике 𝑂𝐴𝐵

:

𝑂𝐴^2=𝑂𝐵^2 + 𝐴𝐵^2

13^2 = 5^2 + 𝐴𝐵^2

𝐴𝐵^2 = 169 - 25 = 144

𝐴𝐵 = √144 = 12

Так как 𝐴𝐵=𝐴𝐶, то длина каждого из отрезков равна 12 см. Таким образом, мы не только доказали равенство отрезков 𝐴𝐵

 и 𝐴𝐶, но и нашли их длину в конкретном примере.