Давайте разберем признаки подобия треугольников, которые могут встретиться на ОГЭ. Подобие треугольников означает, что один треугольник можно получить из другого путем масштабирования (увеличения или уменьшения) и, возможно, поворота или отражения. Важно помнить, что при этом углы треугольников остаются равными, а стороны пропорциональны.
Признаки подобия треугольников.
1. Первый признак подобия (по двум углам).
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Пример.
Пусть у нас есть два треугольника △𝐴𝐵𝐶
и △𝐷𝐸𝐹. Если ∠𝐴=∠𝐷 и ∠𝐵=∠𝐸, то △𝐴𝐵𝐶∼△𝐷𝐸𝐹.
2. Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними).
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Пример. Пусть у нас есть два треугольника △𝐴𝐵𝐶 и △𝐷𝐸𝐹. Если
𝐴𝐵/𝐷𝐸=𝐵𝐶/𝐸𝐹 и ∠𝐵=∠𝐸, то △𝐴𝐵𝐶∼△𝐷𝐸𝐹.
3. Третий признак подобия (по трём сторонам).
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Пример. Пусть у нас есть два треугольника △𝐴𝐵𝐶 и △𝐷𝐸𝐹. Если
𝐴𝐵/𝐷𝐸=𝐵𝐶/𝐸𝐹=𝐶𝐴/𝐹𝐷, то △𝐴𝐵𝐶∼△𝐷𝐸𝐹.
Задача 1. Даны треугольники △𝐴𝐵𝐶 и △𝐷𝐸𝐹. Известно, что ∠𝐴=∠𝐷 и ∠𝐵=∠𝐸. Докажите, что треугольники подобны.
Решение. По первому признаку подобия, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, △𝐴𝐵𝐶∼△𝐷𝐸𝐹.
Задача 2. В треугольниках △𝐴𝐵𝐶 и △𝐷𝐸𝐹
известно, что 𝐴𝐵=6, 𝐵𝐶=8, ∠𝐵=60∘, 𝐷𝐸=3, 𝐸𝐹=4, ∠𝐸=60∘. Докажите, что треугольники подобны.
Решение: Проверим пропорциональность сторон:
𝐴𝐵/𝐷𝐸=6/3=2
𝐵𝐶/𝐸𝐹=8/4=2
Так как
𝐴𝐵/𝐷𝐸=𝐵𝐶/𝐸𝐹 и ∠𝐵=∠𝐸, то по второму признаку подобия △𝐴𝐵𝐶∼△𝐷𝐸𝐹.
Задача 3. В треугольниках △𝐴𝐵𝐶 и △𝐷𝐸𝐹
известно, что 𝐴𝐵=5, 𝐵𝐶=7, 𝐶𝐴=8, 𝐷𝐸=10, 𝐸𝐹=14, 𝐹𝐷=16. Докажите, что треугольники подобны.
Решение. Проверим пропорциональность сторон:
𝐴𝐵/𝐷𝐸=5/10=0.5
𝐵𝐶/𝐸𝐹=7/14=0.5
𝐶𝐴/𝐹𝐷=8/16=0.5
Так как
𝐴𝐵/𝐷𝐸=𝐵𝐶/𝐸𝐹=𝐶𝐴/𝐹𝐷, то по третьему признаку подобия △𝐴𝐵𝐶∼△𝐷𝐸𝐹.