Давайте разберем признаки равенства треугольников, которые необходимы для подготовки к ОГЭ по геометрии. Важно понимать, что два треугольника считаются равными, если они имеют одинаковую форму и размеры. Это означает, что все соответствующие стороны и углы у них равны. Существует три основных признака равенства треугольников:
1. Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и угол между этими сторонами равен углу между соответствующими сторонами другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пример.
Пусть у нас есть два треугольника △𝐴𝐵𝐶
и △𝐷𝐸𝐹.
Если 𝐴𝐵=𝐷𝐸, 𝐴𝐶=𝐷𝐹 и ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐷𝐹, то △𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹.
2. Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):
Если одна сторона одного треугольника равна одной стороне другого треугольника и два угла, прилежащие к этой стороне, равны двум углам, прилежащим к соответствующей стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пример.
Пусть у нас есть два треугольника △𝐴𝐵𝐶
и △𝐷𝐸𝐹. Если 𝐴𝐵=𝐷𝐸, ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐷𝐹 и ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐸𝐹, то △𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹.
3. Третий признак равенства треугольников (по трём сторонам):
Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пример.
Пусть у нас есть два треугольника △𝐴𝐵𝐶
и △𝐷𝐸𝐹. Если 𝐴𝐵=𝐷𝐸, 𝐵𝐶=𝐸𝐹 и 𝐴𝐶=𝐷𝐹, то △𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹.
Теперь давайте рассмотрим каждый признак на конкретных примерах.
Пример 1. Первый признак равенства треугольников.
Предположим, у нас есть треугольники △𝐴𝐵𝐶 и △𝐷𝐸𝐹 с данными:
- 𝐴𝐵=5 см, 𝐴𝐶=7 см, ∠𝐵𝐴𝐶=60∘
- 𝐷𝐸=5 см, 𝐷𝐹=7 см, ∠𝐸𝐷𝐹=60∘
Так как 𝐴𝐵=𝐷𝐸, 𝐴𝐶=𝐷𝐹 и ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐷𝐹, то по первому признаку равенства треугольников △𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹.
Пример 2. Второй признак равенства треугольников.
Предположим, у нас есть треугольники △𝐴𝐵𝐶 и △𝐷𝐸𝐹 с данными:
- 𝐴𝐵=6 см, ∠𝐵𝐴𝐶=45∘, ∠𝐴𝐵𝐶=75∘
- 𝐷𝐸=6 см, ∠𝐸𝐷𝐹=45∘, ∠𝐷𝐸𝐹=75∘
Так как 𝐴𝐵=𝐷𝐸, ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐷𝐹 и ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐸𝐹, то по второму признаку равенства треугольников △𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹.
Пример 3. Третий признак равенства треугольников.
Предположим, у нас есть треугольники △𝐴𝐵𝐶 и △𝐷𝐸𝐹 с данными:
- 𝐴𝐵=4 см, 𝐵𝐶=5 см, 𝐴𝐶=6 см
- 𝐷𝐸=4 см, 𝐸𝐹=5 см, 𝐷𝐹=6 см
Так как 𝐴𝐵=𝐷𝐸, 𝐵𝐶=𝐸𝐹 и 𝐴𝐶=𝐷𝐹, то по третьему признаку равенства треугольников △𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹.
Эти признаки помогут вам определить равенство треугольников в различных задачах. Важно внимательно анализировать условия задачи и применять соответствующий признак.
