Сложение и умножение вероятностей.

Сложение вероятностей

Сложение вероятностей используется, когда мы хотим найти вероятность того, что произойдет одно из нескольких событий. Важно различать два случая: события могут быть несовместимыми (непересекающимися) или совместимыми (пересекающимися).

Пример 1. Несовместимые события.

Предположим, у нас есть два несовместимых события: выпадение орла (A) и выпадение решки (B) при подбрасывании монеты. Эти события несовместимы, потому что не могут произойти одновременно.

- Вероятность выпадения орла (P(A)) = 0.5

- Вероятность выпадения решки (P(B)) = 0.5

Так как события несовместимы, вероятность того, что произойдет либо одно, либо другое событие, равна сумме их вероятностей:

𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)

𝑃(𝐴∪𝐵)=0.5+0.5=1

Пример 2. Совместимые события.

Теперь рассмотрим два совместимых события: выпадение четного числа (C) и выпадение числа больше 3 (D) при броске шестигранного кубика.

- Вероятность выпадения четного числа (P(C)) = 3/6 = 0.5 (четные числа: 2, 4, 6)

- Вероятность выпадения числа больше 3 (P(D)) = 3/6 = 0.5 (числа больше 3: 4, 5, 6)

- Вероятность выпадения числа, которое одновременно четное и больше 3 (P(C ∩ D)) = 2/6 = 1/3 (числа: 4, 6)

Для совместимых событий используется формула:

𝑃(𝐶∪𝐷)=𝑃(𝐶)+𝑃(𝐷)−𝑃(𝐶∩𝐷)

𝑃(𝐶∪𝐷)= 0,5 + 0,5 - 1/3 = 2/3

Умножение вероятностей.

Умножение вероятностей используется, когда мы хотим найти вероятность того, что произойдут оба события одновременно. Здесь также важно различать два случая: события могут быть независимыми или зависимыми.

Пример 1. Независимые события.

Предположим, у нас есть два независимых события: выпадение орла (A) при подбрасывании монеты и выпадение четного числа (C) при броске шестигранного кубика.

- Вероятность выпадения орла (P(A)) = 0.5

- Вероятность выпадения четного числа (P(C)) = 0.5

Для независимых событий вероятность того, что произойдут оба события, равна произведению их вероятностей:

𝑃(𝐴∩𝐶)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐶)

𝑃(𝐴∩𝐶)=0.5×0.5=0.25

Пример 2. Зависимые события.

Теперь рассмотрим два зависимых события: вытягивание красного шара (E) из урны, в которой 3 красных и 2 синих шара, и вытягивание синего шара (F) после того, как красный шар уже был вытянут (без возвращения шара в урну).

- Вероятность вытянуть красный шар (P(E)) = 3/5

- После вытягивания красного шара в урне остается 2 красных и 2 синих шара.

Вероятность вытянуть синий шар (P(F|E)) = 2/4 = 0.5

Для зависимых событий вероятность того, что произойдут оба события, равна произведению вероятности первого события и условной вероятности второго события:

𝑃(𝐸∩𝐹)=𝑃(𝐸)×𝑃(𝐹|𝐸)

𝑃(𝐸∩𝐹)=3/5×0.5=3/10=0.3