Что такое сочетания в комбинаторике?

Комбинаторика — это раздел математики, который изучает способы выбора и расположения объектов из некоторого множества. В комбинаторике есть несколько ключевых понятий, таких как перестановки, размещения и сочетания.

Сочетания — это способ выбора нескольких объектов из множества, при котором порядок выбранных объектов не имеет значения.

Пример.

Представьте, что у вас есть набор из 4 различных фруктов: яблоко, банан, вишня и дыня. Обозначим их как A, B, C и D соответственно.

Выбор подмножества.

Допустим, вы хотите выбрать 2 фрукта из этих 4. Важно отметить, что порядок выбора не имеет значения, то есть выбор (A, B) и (B, A) считается одним и тем же сочетанием.

Перечисление всех возможных сочетаний.

Давайте перечислим все возможные сочетания из 2 фруктов:

1. (A, B)

2. (A, C)

3. (A, D)

4. (B, C)

5. (B, D)

6. (C, D)

Итак, у нас есть 6 различных сочетаний.

Формула для сочетаний.

Для вычисления количества сочетаний можно использовать формулу сочетаний, которая записывается как 𝐶(𝑛,𝑘) или (𝑛 𝑘), где 𝑛 — общее количество объектов, а 𝑘

 — количество объектов, которые нужно выбрать.

Формула выглядит так:

C(n, k) = n!/(k! (n - k)!)

Где 𝑛! (n факториал) — это произведение всех целых чисел от 1 до n.

Применение формулы.

В нашем примере 𝑛=4 (всего фруктов) и 𝑘=2 (выбираем 2 фрукта). Подставим эти значения в формулу:

C(4, 2) = 4!/(2!(4 - 2)!) = 4!/(2! *2!) = 24/2 = 6

Таким образом, мы получили, что количество сочетаний из 4 объектов по 2 равно 6, что подтверждает наш предыдущий список.

Давайте рассмотрим ещё один пример для закрепления. Допустим, у вас есть 5 книг, и вы хотите выбрать 3 из них. Обозначим книги как A, B, C, D и E.

Используем формулу сочетаний:

C(5, 3) = 5!/(3! (5 - 3)!) = 5!/(3!*2!) = 120/12 = 10

Таким образом, количество сочетаний из 5 книг по 3 равно 10.