Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Определение геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его 𝑞).

Пример:

2,6,18,54,…

Здесь каждый следующий член получается умножением предыдущего на 𝑞=3.

Общий вид геометрической прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии через 𝑎. Тогда:

- Первый член: 𝑎

- Второй член: 𝑎⋅𝑞

- Третий член: 𝑎⋅𝑞^2

- Четвертый член: 𝑎⋅𝑞^3

- и так далее...

Общий вид 𝑛-го члена геометрической прогрессии:

𝑎𝑛=𝑎⋅𝑞^(𝑛−1)

Формула суммы первых 𝑛 членов.

Сумма первых 𝑛 членов геометрической прогрессии обозначается 𝑆𝑛. Нам нужно найти выражение для 𝑆𝑛. Запишем сумму:

𝑆𝑛=𝑎+𝑎⋅𝑞+𝑎⋅𝑞^2+𝑎⋅𝑞^3+…+𝑎⋅𝑞^(𝑛−1)

Умножение суммы на знаменатель прогрессии.

Умножим обе части уравнения на 𝑞:

𝑞⋅𝑆𝑛=𝑎⋅𝑞+𝑎⋅𝑞^2+𝑎⋅𝑞^3+…+𝑎⋅𝑞^𝑛

Вычитание уравнений.

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

𝑆𝑛−𝑞⋅𝑆𝑛=(𝑎+𝑎⋅𝑞+𝑎⋅𝑞^2+…+𝑎⋅𝑞^(𝑛−1))−(𝑎⋅𝑞+𝑎⋅𝑞^2+…+𝑎⋅𝑞^𝑛)

Заметим, что большинство членов сокращаются:

𝑆𝑛(1−𝑞)=𝑎−𝑎⋅𝑞^𝑛

Решение уравнения для 𝑆𝑛.

Разделим обе части уравнения на (1−𝑞):

𝑆𝑛=𝑎(1−𝑞^𝑛)/(1−𝑞)

Итоговая формула.

Итак, формула суммы первых 𝑛

 членов геометрической прогрессии:

𝑆𝑛=𝑎(1−𝑞^𝑛)/(1−𝑞)

Пример. Рассмотрим пример с конкретными числами:

Пусть 𝑎=2, 𝑞=3 и 𝑛=4. Тогда:

𝑆4=2(1−3^4)/(1−3)=2(1−81)/(−2)=2⋅(−80)/(−2)=80

Проверим:

𝑆4=2+6+18+54=80

Таким образом, формула работает правильно. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как выводится и используется формула суммы первых 𝑛

 членов геометрической прогрессии!