Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Давайте разберем, как найти сумму первых 𝑛 членов арифметической прогрессии (АП).

Понимание арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается добавлением к предыдущему некоторого постоянного числа, называемого разностью прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как 𝑎1, разность прогрессии как 𝑑, а количество членов прогрессии как 𝑛.

Пример:

𝑎1=2, 𝑑=3

Тогда первые несколько членов прогрессии будут:

2,5,8,11,14,…

Формула для 𝑛-го члена прогрессии. Формула для 𝑛-го члена арифметической прогрессии выглядит так:

𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑

Пример: Для 𝑎1=2, 𝑑=3, найдем 5-й член прогрессии:

𝑎5=2+(5−1)⋅3=2+12=14

Формула суммы первых 𝑛 членов.

Сумма первых 𝑛 членов арифметической прогрессии обозначается как 𝑆𝑛. Чтобы вывести формулу, рассмотрим сумму:

𝑆𝑛=𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+𝑎𝑛

Запишем эту сумму в обратном порядке:

𝑆𝑛=𝑎𝑛+𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−2+…+𝑎1

Теперь сложим эти два выражения:

2𝑆𝑛=(𝑎1+𝑎𝑛)+(𝑎2+𝑎𝑛−1)+(𝑎3+𝑎𝑛−2)+…+(𝑎𝑛+𝑎1)

Каждая пара в скобках равна 𝑎1+𝑎𝑛. Таких пар будет 𝑛:

2𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)

Отсюда:

𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)/2

Подстановка формулы для 𝑎𝑛.

Мы знаем, что 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑. Подставим это в формулу суммы:

𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+(𝑎1+(𝑛−1)𝑑))/2

𝑆𝑛=𝑛(2𝑎1+(𝑛−1)𝑑)/2

Применение формулы на примере. Возьмем наш пример с 𝑎1=2, 𝑑=3

 и найдем сумму первых 5 членов:

𝑆5=5(2⋅2+(5−1)⋅3)/2=40

Формула суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии:

𝑆𝑛=𝑛(2𝑎1+(𝑛−1)𝑑)/2

Эта формула позволяет быстро находить сумму любых первых 𝑛 членов арифметической прогрессии, зная первый член 𝑎1 и разность 𝑑.