Давайте разберем, как решать системы неравенств с двумя переменными на примере. Предположим, у нас есть следующая система неравенств:
1. 𝑦≤2𝑥+3
2. 𝑦>−𝑥+1
1. Построение графиков неравенств.
Для начала, давайте построим графики соответствующих уравнений, которые получаются из неравенств:
1. 𝑦=2𝑥+3
2. 𝑦=−𝑥+1
Построение первой прямой 𝑦=2𝑥+3
Найдем две точки, через которые проходит прямая:
- Если 𝑥=0, то 𝑦=2*0+3=3. Точка (0; 3).
- Если 𝑥=1, то 𝑦=2*1+3=5. Точка (1, 5).
Соединяем эти точки и проводим прямую.
Построение второй прямой 𝑦=−𝑥+1
Найдем две точки, через которые проходит прямая:
- Если 𝑥=0, то 𝑦=−0+1=1. Точка (0, 1).
- Если 𝑥=1, то 𝑦=−1+1=0. Точка (1, 0).
Соединяем эти точки и проводим прямую.
2. Определение областей. Теперь, когда у нас есть графики прямых, нужно определить, какие области соответствуют нашим неравенствам.
Область для 𝑦≤2𝑥+3
1. Прямая 𝑦=2𝑥+3 делит плоскость на две части.
2. Чтобы определить, какая из них соответствует 𝑦≤2𝑥+3, подставим любую точку, не лежащую на прямой, например, точку (0; 0):
- 0≤2*0+3
0≤3
(это верно).
3. Значит, область ниже прямой 𝑦=2𝑥+3
соответствует неравенству 𝑦≤2𝑥+3.
Область для 𝑦>−𝑥+1
1. Прямая 𝑦=−𝑥+1 также делит плоскость на две части.
2. Чтобы определить, какая из них соответствует 𝑦>−𝑥+1, подставим точку (0;0):
- 0>−0+1
0>1
(это неверно).
3. Значит, область выше прямой 𝑦=−𝑥+1
соответствует неравенству 𝑦>−𝑥+1.
3. Нахождение пересечения областей. Теперь нам нужно найти область, которая удовлетворяет обоим неравенствам одновременно. Это будет пересечение двух областей:
1. Область ниже прямой 𝑦=2𝑥+3.
2. Область выше прямой 𝑦>−𝑥+1.
4. Закрашивание пересечения. На графике закрашиваем область, которая находится ниже прямой 𝑦=2𝑥+3 и выше прямой 𝑦>−𝑥+1. Это и будет решение нашей системы неравенств.
Мы получили область на координатной плоскости, которая удовлетворяет обоим неравенствам. Важно помнить, что:
- Линия 𝑦=2𝑥+3 включена в решение, так как неравенство нестрогое (≤).
- Линия 𝑦=−𝑥+1 не включена в решение, так как неравенство строгое (>).
Таким образом, мы нашли решение системы неравенств с двумя переменными.