Системы неравенств с двумя переменными.

Давайте разберем, как решать системы неравенств с двумя переменными на примере. Предположим, у нас есть следующая система неравенств:

1. 𝑦≤2𝑥+3

2. 𝑦>−𝑥+1

1. Построение графиков неравенств.

Для начала, давайте построим графики соответствующих уравнений, которые получаются из неравенств:

1. 𝑦=2𝑥+3

2. 𝑦=−𝑥+1

Построение первой прямой 𝑦=2𝑥+3

Найдем две точки, через которые проходит прямая:

- Если 𝑥=0, то 𝑦=2*0+3=3. Точка (0; 3).

- Если 𝑥=1, то 𝑦=2*1+3=5. Точка (1, 5).

Соединяем эти точки и проводим прямую.

Построение второй прямой 𝑦=−𝑥+1

Найдем две точки, через которые проходит прямая:

- Если 𝑥=0, то 𝑦=−0+1=1. Точка (0, 1).

- Если 𝑥=1, то 𝑦=−1+1=0. Точка (1, 0).

Соединяем эти точки и проводим прямую.

2. Определение областей. Теперь, когда у нас есть графики прямых, нужно определить, какие области соответствуют нашим неравенствам.

Область для 𝑦≤2𝑥+3

 1. Прямая 𝑦=2𝑥+3 делит плоскость на две части.

2. Чтобы определить, какая из них соответствует 𝑦≤2𝑥+3, подставим любую точку, не лежащую на прямой, например, точку (0; 0):

-  0≤2*0+3

 0≤3

 (это верно).

3. Значит, область ниже прямой 𝑦=2𝑥+3

 соответствует неравенству 𝑦≤2𝑥+3.

Область для 𝑦>−𝑥+1

 1. Прямая 𝑦=−𝑥+1 также делит плоскость на две части.

2. Чтобы определить, какая из них соответствует 𝑦>−𝑥+1, подставим точку (0;0):

-  0>−0+1

 0>1

 (это неверно).

3. Значит, область выше прямой 𝑦=−𝑥+1

 соответствует неравенству 𝑦>−𝑥+1.

3. Нахождение пересечения областей. Теперь нам нужно найти область, которая удовлетворяет обоим неравенствам одновременно. Это будет пересечение двух областей:

1. Область ниже прямой 𝑦=2𝑥+3.

2. Область выше прямой 𝑦>−𝑥+1.

4. Закрашивание пересечения. На графике закрашиваем область, которая находится ниже прямой 𝑦=2𝑥+3 и выше прямой 𝑦>−𝑥+1. Это и будет решение нашей системы неравенств.

Мы получили область на координатной плоскости, которая удовлетворяет обоим неравенствам. Важно помнить, что:

- Линия 𝑦=2𝑥+3 включена в решение, так как неравенство нестрогое (≤).

- Линия 𝑦=−𝑥+1 не включена в решение, так как неравенство строгое (>).

Таким образом, мы нашли решение системы неравенств с двумя переменными.