Как узнать, делится ли число на 19? Вычеркнем последнюю цифру и к оставшемуся числу прибавим удвоенную вычеркнутую цифру. Если полученное число делится на 19, то исходное число делится на 19. Повторяем процесс до тех пор, пока делимость или неделимость на 19 не станет очевидной.
Пример. Берем число 3086379. Последняя цифра — 9. Вычеркиваем ее, удваиваем и прибавляем к оставшемуся числу: 9×2 + 308637 = 308655. Полученное число меньше исходного, но по-прежнему не ясно, делится ли число на 19. Продолжаем, пока число не станет достаточно малым для определения его делимости: 5×2 + 30865 = 30875; 5×2 + 3087 = 3097; 7×2 + 309 = 323; 3×2 + 32 = 38. Делимость числа 38 на 19 не вызывает сомнений, поэтому число 3086379, с которого всё начиналось, также делится на 19.
Указанный метод описан в книге Я. И. Перельмана «Занимательная арифметика», появившейся на свет в 1926 году, когда этот признак, возможно, имел практическое значение. В настоящее время трудно представить кого-либо, не располагающего калькулятором хотя бы посредством мобильника. Разве что на школьном экзамене, или на консервативной математической олимпиаде, каковые, увы, нередко имеют место. Но и там, если уж никак не удается усыпить бдительность смотрящего и следящего, гораздо проще разделить углом, чем строить длинную цепочку чисел.
Поэтому, по моему мнению, интересен не столько сам метод, сколько его доказательство. Сможете доказать указанный признак делимости? Если нет, приглашаю читать дальше.
...........................................................................................................................................................................
Итак, пусть P — исходное число, b — его последняя цифра, 'a' — число, оставшееся после вычеркивания последней цифры. Тогда P = 10a+b. Прибавляя удвоенную вычеркнутую цифру к оставшемуся числу, получаем число Q=a+2b. Если удастся доказать, что разность P–Q делится на 19, то тем самым будет доказано, что P и Q при делении на 19 дают одинаковые остатки, поэтому либо оба делятся, либо оба не делятся. Находим разность: P–Q= (10а+b) — (a+2b) = 9a-b и ... достаточно простых примеров, чтобы убедиться, что число 9а–b вовсе не обязано делиться на 19.
Неужели столь популярная книга, переизданная огромное количество раз, ошиблась? Конечно нет, ведь не только 3086379 и 38, но и все промежуточные числа указанного примера (откровенно говоря, я это не проверял, но абсолютно уверен) делятся на 19 и их разности также делятся на 19. Так в чем же дело?
Поступим по другому. Вместо P–Q вычислим P–10Q. Поскольку 10Q = 10(a+2b)=10a+20b, слагаемые 10a при вычитании взаимно уничтожаются и получаем P–10Q=(10a+b)–(10+20b)=–19b. Ну это совсем другое дело! Мы видим, что P–10Q всегда делится на 19, значит P и 10Q либо оба делятся, либо оба не делятся на 19.
Дальше рассуждаем так. Пусть Q делится на 19. Тогда 10Q также делится на 19 и следовательно P делится на 19. Наоборот, пусть P делится на 19. Тогда 10Q также делится на 19. Поскольку 10 и 19 — взаимно простые числа, 10Q может делиться на 19 лишь тогда, когда Q делится на 19. Признак делимости на 19 доказан, а заодно продемонстрирован своеобразный метод доказательства признака делимости.
Довольно любопытный результат: хотя остатки от деления P и Q на 19 в общем случае не совпадают, нулевые остатки совпадают всегда! Все-таки жаль, что остатки не всегда одинаковы. Это не позволяет использовать признак делимости для определения остатка от деления — еще одно преимущество деления углом на 19 по сравнению с использованием признака делимости.
К счастью, в более известных (и чаще используемых) признаках делимости остаток от деления «упрощенного» числа (как, например, сумма цифр в признаке делимости на 3 или на 9) всегда совпадает с остатком от деления самого числа.