— Вот же глупый Енот! Доставай пальцы и считай: два раза по два это то же самое, что два плюс два, получаем "раз", "два", "три", "четыре". Вот, собственно, и всё! Эй, первоклашки, пошли гулять! Лето на дворе!
Первоклашки убежали, остались Енот и вы, его читатели. Наш Енот, как известно, большой зануда, и у него накопились вопросы. Если вы готовы к занудству экстракласса, то предлагаю вам остаться, а если нет, то айда гулять, лето на дворе!
А это везде так?
Что такое два? — рассуждает Енот-математик, — это число, следующее за единицей, то есть 1 + 1. А что такое единица? Это такое число, которое при умножении на любое число оставляет его без изменений. Запишем выражение "дважды два" так:
(1+1)×(1+1) = (1+1)×1 + (1+1)×1 = (1+1) + (1+1).
Получается, что из-за распределительного закона умножения произведение сумм пары единиц всегда равно сумме сумм пары единиц. Всегда, значит в любой числовой системе, в любом алгебраическом кольце или поле, для которого определена единица. Числовых систем, как известно, бывает много, в том числе и достаточно диковинных. Например, в поле вычетов ℤ₃ никакого элемента "четыре" нет, но всë равно 2×2 = 2+2 = 1.
Так что мы доказали нечто фундаментальное!
А другие такие числа есть?
Давайте поищем: a + a = a×a.
Перенесём всё в левую часть: a + a – a×a = 0.
Вынесем общий множитель: a×(1 + 1 – a) = 0.
В числовых полях у этого уравнения два корня: ноль (нейтральный элемент для сложения) и 1 + 1, которое мы в быту называем "два", а других корней нет.
Например, в загадочном поле с четырьмя элементами 𝔽₄ числа "четыре" тоже нет, а роль двойки играет ноль, потому что 1 +1 = 0, а значит в этом поле работает наш тривиальный случай a = 0.
А что с возведением в степень?
С ней тоже всё отлично:
(1+1)⁽¹⁺¹⁾ = (1+1)¹ × (1+1)¹ = (1+1)×(1+1) = (1+1) + (1+1).
Эта цепочка равенств тоже верна для любого кольца, потому что операция возведения в степень дистрибутивна справа и к тому же для этой операции единица является правым нейтральным элементом.
Причём, нетрудно доказать, что в поле 1 + 1 не единственный такой элемент:
0 = nⁿ – n×n = n×(nⁿ⁻¹ – n) = n×n×(nⁿ⁻¹⁻¹ – 1) = 0
Последнее произведение может быть нетривиально равно нулю, только если nⁿ⁻¹⁻¹ = 1, что может быть верно если n = 1 или n = 1 + 1.
А дальше что?
Для любого кольца можно определить башню гиперопераций, обобщающих арифметические операции:
И для них легко показать, что при любом значении n верно, что 2⁽ⁿ⁾2 = 2+2, поскольку согласно общему выражению:
Здесь в построении всех выражений используется тот факт, что 2 = 1 + 1, в отношении b.
То же самое можно доказать, используя функцию Аккермана. Но уже не нужно.
Получается, что даже если использовать страшные стрелки Кнута, порождающие невероятно большие числа, типа числа Грэма, двойкам всë едино:
2↑2 = 2↑↑2 = 2 ↑↑↑2 = ... = 2+2.
* * *
Таким образом, утверждение "дважды два равно четыре" верно в любом кольце с единицей и для любой арифметической операции и любой гипероперации, то есть, при любом смысле суффикса "-жды", если под словом "четыре" понимать сумму сумм пары единиц.
Круто! Пошли уже гулять, лето на дворе!