Родился 1 июля 1847 года в Берлине. Сын известного швейцарского историка. Вырос в Базеле, после сдачи экзамена на аттестат зрелости отправился в путешествие на Восток.
После получения докторской степени в 1869 году некоторое время был учителем гимназии в Базеле. Затем стал частным лектором и доцентом древней истории Гейдельбергского университета. В 1878 году был назначен заведующим кафедрой классической филологии и древней истории Йенского университета. В связи с этим стал директором филологического семинара, а с 1885 года — директором семинара древней истории.
Он написал множество эссе в многочисленных филологических, богословских журналах и периодических изданиях. Так из-под его пера вышла статья «Армения» в 3-м издании «Реальной энциклопедии протестантского богословия и церкви». Теологический факультет Йенского университета присвоил Гельцеру звание почётного доктора в 1897 году. Он также стал членом Королевской Саксонской академии наук и членом-корреспондентом Баварской академии наук. В центре внимания Гельцера была история Византии, а позже также история и литература Армении. Дальнейшие поездки совершил в Грецию, Малую Азию и страны Черноморского региона, включая Македонию и Афон.
Умер 11 июля 1906 года в Йене. Выдающийся немецкий историк, один из самых выдающихся арменоведов. В своих многочисленных работах внёс существенный вклад в понимание позднеантичной и средневековой как византийской, так и армянской истории. Исследования касаются распространения христианства в Армении, армянской мифологии и истории армянского народа. В статье «Armenien» представлены сведения об истории Армении, библиографии и Армянской апостольской церкви. Гельцер неоднократно упоминал роль армян в истории общей цивилизации и культуры.
В работе «Духовное и светское с турецко-греческого Востока», изданной в Лейпциге в 1900 году, он описал бедственное положение армян, болгар и греков, проживающих в Османской империи, подверг критике армяноубийственную политику Абдул Гамида и безразличие немецкого правительства в этом вопросе, квалифицировав это как моральный упадок Европы. Об армянах он упоминал как в отдельных исследованиях, так и в трудах, посвященных всеобщей истории. Основные труды Гельцера по арменистике были переведены на армянский язык.
В работе «Павстос Бузанд, или истоки Армянской церкви», главным образом со ссылкой на Павстоса Бузанда, кратко представлено распространение христианства в Армении. Более важным является труд Генриха Гельцера «Исследование армянской мифологии», где раскрываются иранские, ассирийские и греческие влияния на армянский пантеон. Определены только армянские языческие боги. В работе «Сводка истории византийских императоров» он определил период истории Византии, 867-1025 годы, как период существования армянской династии империи. Перевёл отрывки из произведений Павстоса Бузанда и Себеоса.