Давайте рассмотрим, как решать системы уравнений второй степени с двумя неизвестными. Мы будем использовать метод подстановки и метод алгебраического сложения. Начнем с примера:
1. Пример системы уравнений:
1. 𝑦 = 𝑥^2 + 3𝑥 + 2
2. 𝑦 = 2𝑥 + 4
Понимание системы уравнений.
У нас есть два уравнения:
- Первое уравнение является квадратичным (второй степени) относительно 𝑥.
- Второе уравнение является линейным (первой степени) относительно 𝑥.
Использование метода подстановки.
Поскольку оба уравнения равны 𝑦, мы можем приравнять правые части уравнений друг к другу:
𝑥^2 + 3𝑥 + 2 = 2𝑥 + 4
Приведение уравнения к стандартному виду.
Переносим все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
𝑥^2 + 3𝑥 + 2 − 2𝑥 − 4 = 0
Упрощаем:
𝑥^2 + 𝑥 − 2 = 0
Решение квадратного уравнения.
Теперь решим квадратное уравнение 𝑥^2 + 𝑥 − 2 = 0. Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения:
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac))/(2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac))/(2a)
В нашем уравнении а = 1, b = 1, c = -2. Подставляем эти значения в формулу:
Получаем два корня:
x1 = 1
x2 = -2
Найдем соответствующие значения y:
для x1 = 1
y = 2*1 + 4 = 6
для x2 = -2
y = 2*(-2) + 4 = 0
Запишем решения системы:
(1; 6); (-2; 0).
Пример 2. Метод алгебраического сложения (метод исключения).
Рассмотрим систему уравнений:
1. x^2 + y^2 = 13
2. x^2 - y^2 = 5
Сложим уравнения.
Сложим оба уравнения, чтобы исключить y^2:
(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 13 + 5
2*x^2 = 18
x^2 = 9
x1 = 3, x2 = -3
Найдем соответствуй значения y.
Для x = 3
3^2 + y^2 = 13
y^2 = 13 - 9
y^2 = 4
y1 = 2, y2 = -2
Для x = -3
(-3) ^2 + y^2 = 13
y^2 = 13 - 9
y3 = 2, y4 = -2
Запишем решения системы уравнений: (3; 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2).
Теперь Вы знаете, как решать системы уравнений второй степени двумя способами.
