Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными.

Давайте рассмотрим, как решать системы уравнений второй степени с двумя неизвестными. Мы будем использовать метод подстановки и метод алгебраического сложения. Начнем с примера:

1. Пример системы уравнений:

1. 𝑦 = 𝑥^2 + 3𝑥 + 2

2. 𝑦 = 2𝑥 + 4

Понимание системы уравнений.

У нас есть два уравнения:

- Первое уравнение является квадратичным (второй степени) относительно 𝑥.

- Второе уравнение является линейным (первой степени) относительно 𝑥.

Использование метода подстановки.

Поскольку оба уравнения равны 𝑦, мы можем приравнять правые части уравнений друг к другу:

𝑥^2 + 3𝑥 + 2 = 2𝑥 + 4

Приведение уравнения к стандартному виду.

Переносим все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

𝑥^2 + 3𝑥 + 2 − 2𝑥 − 4 = 0

Упрощаем:

𝑥^2 + 𝑥 − 2 = 0

Решение квадратного уравнения.

Теперь решим квадратное уравнение 𝑥^2 + 𝑥 − 2 = 0. Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения:

x1 = (-b + √(b^2 - 4ac))/(2a)

x2 = (-b - √(b^2 - 4ac))/(2a)

В нашем уравнении а = 1, b = 1, c = -2. Подставляем эти значения в формулу:

Получаем два корня:

x1 = 1

x2 = -2

Найдем соответствующие значения y:

для x1 = 1

y = 2*1 + 4 = 6

для x2 = -2

y = 2*(-2) + 4 = 0

Запишем решения системы:

(1; 6); (-2; 0).

Пример 2. Метод алгебраического сложения (метод исключения).

Рассмотрим систему уравнений:

1. x^2 + y^2 = 13

2. x^2 - y^2 = 5

Сложим уравнения.

Сложим оба уравнения, чтобы исключить y^2:

(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 13 + 5

2*x^2 = 18

x^2 = 9

x1 = 3, x2 = -3

Найдем соответствуй значения y.

Для x = 3

3^2 + y^2 = 13

y^2 = 13 - 9

y^2 = 4

y1 = 2, y2 = -2

Для x = -3

(-3) ^2 + y^2 = 13

y^2 = 13 - 9

y3 = 2, y4 = -2

Запишем решения системы уравнений: (3; 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2).

Теперь Вы знаете, как решать системы уравнений второй степени двумя способами.