Решение 24 задания ОГЭ - задача на доказательство

Точка Е - середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и ADE равна половине площади трапеции.

Для доказательства будем использовать одно из основных свойств площадей.

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Доказательство.

1) Проведем прямую ЕК, параллельную основаниям трапеции. В нашем случае сумма площадей треугольников BCЕ, CEK, DEK и ADE составляет площадь трапеции.

Если АЕ=ВЕ по условию и ЕК||АD||ВС по построению, то по теореме Фалеса СК=КD.

Значит, отрезок ЕК - медиана ∆СЕD. Медиана EK делит треугольник СЕD на два равных по площади треугольника CEK и DEK. А почему равных по площади, напишите в комментариях.

Отсюда S∆СЕК=S∆DEK.

2) ∆ВСЕ и ∆СЕК имеют по одному равному углу. Угол ВСЕ равен углу СЕК как накрест лежащие при ВС||ЕК и секущей СЕ.

По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу, справедливо равенство:

3) ∆АDE и ∆DEK имеют тоже по одному равному углу. Углы АDE и DEK равны как накрест лежащие при АD||EK и секущей DE.

По теореме об отношении площадей имеем:

Запишем эти два равенства вместе👇 

Так как S∆CEK=S∆DEK по выше доказанному ( ЕК - медиана!), то во втором равенстве сделаем замену и сложим почленно эти два равенства:

По построению ЕК не только медиана ∆СЕD, но и средняя линия трапеции ABCD и она равна полусумме оснований. Вот откуда ЕК=½(ВС+AD).

Уберем промежуточные вычисления и оставим только это 👇

Преобразуем👇

Ещё преобразуем👇

Так как S∆CEK=S∆DEK сделаем замену

Выходит, что сумма площадей треугольников ВСЕ и АДЕ равна сумме площадей треугольников СЕК и DEK.

Все эти четыре площади треугольников образуют площадь трапеции.

Сгруппируем слагаемые

Так как в первых и во вторых скобках равные выражения, сделаем замену:

Упростим выражение:

Выразим из этого равенства сумму площадей треугольников ВСЕ и ADE:

Она равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать 👇

К задаче номер 23 оставлю рисунок и чертеж. Задача легкая, попробуйте решить сами и ответ написать в комментариях.

В следующей публикации покажу последнее, 25 задание. Немного о себе.

9 Мая в нашем Сельском Доме Культуры прошли праздничные мероприятия ко Дню Победы. Я помогла заведующей оформить стенд, украсили окна, сцену.

На концерте рассказала стихотворение Ольги Берггольц "В госпитале".

На улице у нас то снег, то дождь, то град. Ждем тепла.

Посёлок выглядит как-то так. Фото автора 12.05.2024г.

До новых встреч на канале.

С уважением и благодарностью к вам автор Любовь.