Давайте разберем, как решать задачи с помощью систем уравнений второй степени. Для этого рассмотрим пример задачи и решим её пошагово.
Пример задачи:
Найти все пары чисел (х, у), которые удовлетворяют следующим уравнениям:
1. x^2 + y^2 = 25
2. x + у = 7
Анализ уравнений.
Первое уравнение x^2 + y^2 = 25 представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом 5.
Второе уравнение x + y = 7 представляет собой уравнение прямой.
Выразить одну переменную через другую.
Из второго уравнения выразим одну переменную через другую, например, выразим у через х:
y = 7 - x
Подставить выражение в первое уравнение.
Теперь подставим выражение для у в первое уравнение:
x^2+ (7 - х)^2 = 25
Упростить уравнение.
Раскроем скобки и упростим уравнение:
x^2 + (7 - x)^2 = 25
x^2 + (49 - 14х + x^2) = 25
x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25
2x^2 - 14x + 49 = 25
Привести уравнение к стандартному виду.
Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
2x^2 - 14x + 49 - 25 = 0
2x^2 - 14x + 24 = 0
Решить квадратное уравнение.
Решим квадратное уравнение
2x^2 - 14x + 24 = 0 спомощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
a = 2, b = -14, c = 24
D = (-14) ^2 - 4*2*24 = 196 - 192 = 4
Найдем корни уравнения:
x1 = (-b + √D)/(2a) = (14 + 2)/(2*2) = 4
x2 = (-b - √D)/(2a) = (14 - 2)/(2*2) = 3
Найти соответствующие значения у.
Теперь найдем значения у для каждого найденного x:
Для x1 = 4:
у = 7 - 4 = 3
Для х2 = 3:
у = 7 - 3 = 4
Записать решения.
Таким образом, решения системы уравнений:
(4; 3); (3; 4)
Мы нашли все пары чисел (х, у), которые удовлетворяют данной системе уравнений. Решение системы уравнений второй степени требует последовательного выполнения шагов: анализа уравнений, выражения одной переменной через другую, подстановки, упрощения, решения квадратного уравнения и нахождения соответствующих значений переменных.