Придумывал задачки на контрольную по дифурам для своих бразильских студентов и вспомнилась молодость - первый дифур который я самостоятельно составил и решил: веревочка длины L, одним концом закрепленная на цилиндре радиуса R, наматывается на этот цилиндр. Свободный конец веревки движется с постоянной по величине скоростью V, а направление скорости перпендикулярно натянутой веревке. Найти время намотки...
Чтобы студенты не жаловались на мой португальский, сделал для них наглядное пояснение к задаче - и объяснил жестами)
Как такие задачки решать?
Чтобы решать подобные задачки, нужно сделать рисунок (мысленно представить) двух близких последовательных моментов движения, отличающихся на небольшой интервал времени Δt
Когда интервал времени небольшой, скорости изменений величин можно приближенно считать константами и воспользоваться формулами для равномерного движения.
В нашей задаче, за этот малый интервал времени точка контакта веревки и столба переместится на угол dφ, значит длина веревки уменьшится на соответсвующую дугу окружности ΔL=-R dφ. Так как веревка натянута, в исходном и новом положении она будет проходить вдоль касательных прямых к поверхности столба. Новое положение веревки также будет повернуто на угол dφ. Свободный конец веревки пройдет примерно расстояние V Δt. Приблизительно, dφ~tg (dφ)~VΔt/L.
Получается, что ΔL=-R VΔt/L, и если поделить левую и правую часть на Δt, то мы получим среднюю скорость уменьшения длины свободной части веревки за малый интервал времени Δt.
ΔL/Δt=-R V/L
А теперь "закроем глаза и устремим Δt к нулю". Слева получится мгновенная скорость уменьшения длины веревки: математически, производная длины по времени. Вот и получился наш дифур
L'(t)=-RV/L(t)
Это дифур с разделяющимися переменными (удивительно, что в простейших моделях такие дифуры довольно часто появляются - может быть потому, что мы ищем пропорции между некоторыми функциями от скоростей изменения двух физических величин?). Разделим переменные
L(t)L'(t)=-RV
проинтегрируем (нужно знать формулу для интеграла от константы и от линейной функции - или площадь прямоугольника и прямоугольного треугольника) и получим решение дифура
(L^2(t)-L^2(0))/2=-RVt
Я брал определенный интеграл от начального времени t=0 (начальной длины L(0)), до текущего момента t (текущей длины L(t)).
Теперь нужно найти такой момент времени T, что L(T)=0. Подставляя эти значения в решения дифура
(0-L^2(0))/2=-RVT
Отсюда,
T=L^2(0)/(2RV).
Размерность получилась правильная - единицы времени. Но в этой задаче, прикинуть ответ по методу размерности затруднительно, так как есть две величины с размерностью длины. Можно проанализировать предельные случаи малого и большого радиусов. При стремлении радиуса к нулю, время намотки растет. И наоборот, при очень большом радиусе, время намотки стремится к нулю - ведь уже в исходном положении веревка почти намотона на поверхность столба.