Статья «Относительность и кинетическая энергия» заканчивалась рассуждением о том, что при выборе или смене системы отсчета следует учитывать не только положения и скорости тел, но и их взаимодействие между собой, внешние силы и факторы, влияющие на поведение тел, поскольку телам неведомы выдуманные нами системы отсчета, их занимают только процессы, которые затрагивают их самих.
Позволю себе повторить выводы, сделанные в предыдущей статье. При переносе процесса в рассматриваемых системах отсчета (СО) должны быть описаны:
- процесс, который рассматривается до и после переноса расчета из одной СО в другую;
- перечень всех тел, прямо или косвенно участвующих в процессе и параметры этих тел в исходной СО;
- перечень всех сил и законы их изменения в масштабах рассматриваемого процесса, которые прямо или косвенно затрагивают процесс;
- указана степень точности, с которой параметры процесса определены в исходной СО и будут определяться в новой;
- начальное и конечное время процесса или интервал времени, в течение которого будет рассмотрен процесс, а также точность измерения времени и его интервалов;
- цель переноса процесса из исходной СО в новую. После переноса процесса из одной СО в другую должны улучшаться ясность и понимание самого процесса.
Кроме этого, было доказано, что для вычисления изменения кинетической энергии тела при изменении скорости на deltaV, нет необходимости знать абсолютные начальную и конечную скорость.
При рассмотрении потенциальной энергии также следует иметь в виду, что мы не можем знать всех сил, действующих на тело, поэтому будем рассматривать только изменения потенциальной энергии, произошедшие во время рассматриваемого процесса.
Давайте рассмотрим две разные задачи, иллюстрирующие правильность и необходимость перечисленных требований.
1. Подъем гири массой 16 кг на высоту 2 м от уровня пола спортзала вашего города.
2. Подъем спутника массой 36 кг от поверхности Земли на высоту 250 км и придание ему скорости орбитального вращения.
В этих задачах общими являются силы взаимного притяжения двух и более тел. При подъеме гири массой m, совершается работа A против силы земного тяготения, с ускорением свободного падения g на высоту h. Величина этой работы по школьному учебнику равна
A = m * g * h (1)
Но ведь сила взаимного притяжения двух тел F определяется как
F = G * m1 * m2 / R^2 (2)
Где G – гравитационная постоянная;
m1 – масса первого тела;
m2 – масса второго тела;
R – расстояние между центрами масс притягиваемых тел.
Поэтому работа по подъему гири должна быть выражена как
= G * m1 * m2 * (-1/(R+h) + 1/R) = G * m1 * m2 * h / (R * (R+h)) (3)
А теперь «добрые» физики-математики говорят, что R – радиус Земли настолько больше высоты h, что можно считать
R * (R + h) ≈ R^2, (4)
тогда сила F становится постоянной и не зависимой от высоты (в разумных пределах).
Ускорение тела m1 под действием силы тяжести тоже становится постоянным по второму закону Ньютона и имеет величину
g = F / m1 = G * m2 / R^2 (5)
Подставляя (4) и (5) в (3), придем прямо к (1). Причем обратите внимание – радиус Земли вообще исчез из формулы. Мы, без упоминания, приравняли высоту нулевого уровня к уровню некоторого среднего радиуса Земли, когда поставили пределы в интеграле, то есть выбрали систему координат так, как нам удобно! Что еще важно, нам не понадобилась величина массы Земли, ведь мы «упрятали» и массу и радиус Земли в общепринятую постоянную ускорения свободного падения на поверхности Земли – g.
Как видите, знакомые с детства формулы – это результат выбора системы отсчета плюс упрощения и округления. А когда об этом «забывают» где-то из-за плохой памяти, а где-то умышленно, появляются такие чудные теории, что дух захватывает от полета фантазии!
Для решения второй задачи все-таки уточним начальные условия:
G = 6.674301515E-11;
m1 = 36 кг;
m2 = 5.9742E24 кг;
R = 6356752,3 м;
h = 250000м.
Радиус спутника по сравнению с радиусом земли настолько мал, что спутник можно считать материальной точкой.
Итак, работа по поднятию спутника
A =G * m1 * m2 * h / (R * (R+h)) = 8.544856541E+07 Дж.
Если бы мы не учли изменение силы притяжения Земли на протяжении всего пути и посчитали бы работу по формуле (1), результат был бы 8.8254E+07. Достаточно большое отклонение, не правда ли?
Если бы для запуска спутников требовалось только поднять их повыше, ракеты были бы намного меньше тех, что взлетают сегодня в космос. Надо ведь разогнать спутник так, чтобы центробежная сила было бы в точности равно силе притяжения Земли.
Сила притяжения массы спутника к Земле на высоте 250 км от поверхности будет
Fp = G * m1 * m2 / (R + h)^2 = 328.86 Н
Сравните с весом спутника на поверхности Земли 353.016 Н.
Центробежная сила равна
Fc = m1* V^2 / (R + h)
Откуда
V = sqrt(Fp * (R + h)/m1) = sqrt(G * m2 / (R + h))= 7768.71 м/сек.
Чтобы изменить скорость тела массой в 36 кг, движущегося вместе с поверхностью Земли, на дополнительную скорость 7768.71 м/сек надо сообщить ему кинетическую энергию
Ek = m1 * V^2 / 2 = 1.086350729E+09 Дж.
Как видите, эта работа в 12.71 раз больше, чем работа по подъему спутника на высоту орбиты.
Конечно, эти расчеты очень-очень приблизительны. Не учтены затраты на разгон и подъем топлива ракеты, самой ракеты, преодоление сопротивления воздуха и еще сотни факторов. Цель это статьи дать понять, что, выполняя расчеты какого-либо процесса, нет необходимости точно знать начальные и конечные параметры в абсолютных координатах. Важно учитывать только те изменения, которые происходят в рассматриваемой системе при выполнении самого процесса. Мы молча привязали систему отсчета к поверхности Земли и выполнили все расчеты, даже не вспоминая о ней.
Хотелось бы разобраться также, является ли система отсчета, привязанная к поверхности Земли инерциальной или нет. А еще интересная система отсчета привязанная к стенкам жилого отсека на МКС. С одной стороны эти СО вращаются, подвержены нелинейному гравитационному полю, с другой стороны все другие системы будут только умозрительными.
Впрочем, это уже тема следующей статьи, а пока большое спасибо, что дочитали до конца.