Решение 22 задания ОГЭ "Построение графика функции с модулем"

Постройте график функции у=2,5|х|-1 / |х|-2,5х². Определите, при каких значениях к прямая у=кх не имеет с графиком общих точек.

Точнее функция выглядит так☝️

На самом деле мы будем строить график вот такой сложной функции 👇

Чтобы преобразовать изначальную функцию в такой вид нам надо знать определение модуля числа.

Модулем числа называется само число, если оно неотрицательно, например |0|=0, |5|=5, и противоположное ему число, если оно отрицательно, например |-5|=-(-5)=5

Подставим вместо модуля х просто х. При х≥0 это можно сделать.

Сразу учтем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю.

При х=0 первоначальная функция не существует да и полученная тоже. Смотрите 👇

При х =0,4 знаменатель первоначальной функции обращается в 0 и найти у невозможно. А вот полученная функция у=-1/х имеет значение, равное -2,5.

Выходит, первоначальная функция и полученная не совсем тождественно равные.

Когда будем строить график, точку (0.4; -2,5) придется выколоть.  

Теперь вместо модуля х подставим -х . При х<0 мы имеем право так поступить.

Знаменатель -х(1+2,5х) не должен равняться нулю.

При х=0 обе функции просто не существуют.

При х= - 0,4 у первоначальной функции нельзя найти значение у, а у полученной можно. Убедитесь сами 👇

При построении графика точка (-0,4; -2,5) будет также выколота.

Поэтому при построении графика функцию

заменим на идентичную,

но точки с координатами (0.4; -2,5) и (-0,4; -2,5) выколем.

На рисунке приведены таблицы для построения и сам график:

Теперь определим, при каких значениях к прямая у=кх не имеет с графиком общих точек.

Прямая у=кх - это прямая, проходящая через начало координат.

Проведем прямые, проходящие через начало координат и выколотые точки.

На графике их две. Они проведены зеленым цветом. Общих точек с графиком нет.

Найдем значение к , подставляя в уравнение у=кх координаты точек (0,4;-2,5) и (-0,4; -2,5).

Давайте разберёмся, относятся ли оси х и у к прямой вида у=кх. Они тоже не имеют с графиком общих точек. Веточки гиперболы подходят вплотную к осям, но никогда их не пересекают.

Можно ли у них определить к? Подставим, например, координаты точки (2; 0), лежащей на оси х, в уравнение прямой у=кх.

0=к•2.

к отсюда легко находится👇

к=0:2

к=0

Делаем вывод: ось х относится к прямой вида у =кх и к найти можно.

А теперь подставим, например, координаты точки (0; 2), лежащей на оси у, в уравнение у=кх👇

2=к•0.

к=2:0

Отсюда к никак не находится, так как на ноль делить нельзя.

Отсюда вывод: ось у не относится к прямой вида у=кх и к найти невозможно.

Значит, прямых, не имеющих с графиком общих точек, у которых можно найти к, три: две - через выколотые точки и третья - прямая, совпадающая с осью х.

Мы уже находили значение к у точки, лежащей на оси х, через координаты (2; 0).

Все значения к найдены.

Сформулируем ответ: при к=6,25; -6,25; 0 прямая у =кх не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

Задача решена. В общем виде ее можно оформить так:

В следующий раз займемся геометрией:

Кстати, в номере 20 дети тоже часто ошибаются и вместо трех корней уравнения получают только два.

P. S. У нас холодина. Ночью -2°, днем +5°. Листочки у кустарников только-только начинают появляться. Деревья молчат. Мечтаю о лете, хочу греться в саду на солнышке, как этот котик.

Рисунок по номерам. Работа автора.

До новых встреч на канале.

Автор Любовь.