Дробные рациональные уравнения с одной переменной - это уравнения, в которых переменная находится в знаменателе одной или нескольких дробей. Решение таких уравнений включает в себя несколько ключевых шагов, которые я объясню на примере.
Пример уравнения:
3/(x - 2) + 2/(x + 1) = 1
Определение области допустимых значений переменной.
Первым делом нужно определить, при каких значениях переменной х уравнение имеет смысл. Для этого переменная в знаменателе не должна обращать его в ноль.
x - 2 не равно 0, x не равно 2
x + 1 не равно 0, x не равно -1
Таким образом, область допустимых значений переменной x - все действительные числа кроме 2 и -1.
Приведение уравнения к общему знаменателю.
Чтобы избавиться от дробей, найдем общий знаменатель и умножим на него обе части уравнения.
Общий знаменатель для (x -2) и (х + 1) - это (x - 2)(x + 1).
Умножаем каждый член уравнения на (x - 2) (x + 1):
(x - 2) (x + 1)( 3/(x - 2) + 2/(x + 1)) = (x - 2) (x + 1)
Раскрываем скобки:
в числителе получаем выражение
3(x + 1) + 2(x - 2) = (x - 2) (x + 1)
Упрощение уравнения.
Раскроем скобки и упростим уравнение:
3x + 3 + 2x - 4 = x^2 - 2x + x - 2
Переносим все члены уравнения в одну сторону:
x^2 - 6x - 1= 0
Решение полученного квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение x^2 - 6х - 1 = 0 с помощью формулы корней квадратного уравнения:
x1 = (-b + √D)/(2a)
x2 = (-b - √D)/(2a)
где a = 1, b = -6, c = -1, D = b^2 - 4ac
x1 = 3 + √10
x2 = 3 - √10
Проверка корней.
Проверим, не попадают ли полученные корни в исключенные значения х = 2 и х = -1.
Оба корня 3 + √10 и 3 - √10 не равны 2 и -1, следовательно, они являются допустимыми.
Корни уравнения 3/(x - 2) + 2/(x + 1) = 1
х1 =3 + √10 и х2 = 3 - √10, при условии, что x не равно 2 и х не равно -1.
