Дробные рациональные уравнения с одной переменной.

Дробные рациональные уравнения с одной переменной - это уравнения, в которых переменная находится в знаменателе одной или нескольких дробей. Решение таких уравнений включает в себя несколько ключевых шагов, которые я объясню на примере.

Пример уравнения: 

3/(x - 2) + 2/(x + 1) = 1

Определение области допустимых значений переменной.

Первым делом нужно определить, при каких значениях переменной х уравнение имеет смысл. Для этого переменная в знаменателе не должна обращать его в ноль. 

x - 2 не равно 0, x не равно 2

x + 1 не равно 0, x не равно -1

Таким образом, область допустимых значений переменной x - все действительные числа кроме 2 и -1.

Приведение уравнения к общему знаменателю.

Чтобы избавиться от дробей, найдем общий знаменатель и умножим на него обе части уравнения. 

Общий знаменатель для (x -2) и (х + 1) - это (x - 2)(x + 1). 

Умножаем каждый член уравнения на (x - 2) (x + 1): 

(x - 2) (x + 1)( 3/(x - 2) + 2/(x + 1)) = (x - 2) (x + 1)

Раскрываем скобки: 

в числителе получаем выражение

3(x + 1) + 2(x - 2) = (x - 2) (x + 1)

Упрощение уравнения.

Раскроем скобки и упростим уравнение: 

3x + 3 + 2x - 4 = x^2 - 2x + x - 2

Переносим все члены уравнения в одну сторону: 

x^2 - 6x - 1= 0

Решение полученного квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение x^2 - 6х - 1 = 0 с помощью формулы корней квадратного уравнения: 

x1 = (-b + √D)/(2a)

x2 = (-b - √D)/(2a)

где a = 1, b = -6, c = -1, D = b^2 - 4ac

x1 = 3 + √10

x2 = 3 - √10

Проверка корней.

Проверим, не попадают ли полученные корни в исключенные значения х = 2 и х = -1.

Оба корня 3 + √10 и 3 - √10 не равны 2 и -1, следовательно, они являются допустимыми. 

Корни уравнения 3/(x - 2) + 2/(x + 1) = 1

х1 =3 + √10 и х2 = 3 - √10, при условии, что x не равно 2 и х не равно -1.