Трисекция отрезка

Построение циркулем и линейкой - одна из наиболее геометрических тем в геометрии. В отличие от искусственной вычислительной геометрии, построение сохраняет связь с природой, как завещали древние греки. Широко известно, что некоторые задачи на построение неразрешимы циркулем и линейкой - одна из таких задач касается трисекции угла (то есть деления данного угла на три равных друг другу части). С учётом того, что бисекция угла (построение биссектрисы - деление угла пополам) тесно связано с делением пополам отрезка, логично бы было ожидать, что задача с трисекцией отрезка также неразрешима.

Однако это, конечно, не так. При наличии теоремы Фалеса решение задачи с делением отрезка на любое количество частей совершенно очевидно - надо просто провести через один из концов отрезка вторую прямую под любым углом к данной, на одном из её лучей отложить 3 (n - любое количество, на сколько отрезков мы хотим разделить данный отрезок) равных отрезка, конец последнего соединить прямой со вторым концом данного отрезка, а потом провести через промежуточные точки прямые, параллельные этой прямой.

Жил был отрезок АВ (листайте галерею).

Доказательство, что получилось то, что нужно, очевидно по теореме Фалеса.

Но можно ли как-нибудь ещё сделать это построение? Например, если теоремы Фалеса в арсенале пока нет. Разумеется, да. Самое неожиданное, на мой взгляд, решение (и второе, после приведённого выше, которое придумал я сам) связано с тем, что медианы любого треугольника точкой своего пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Этот факт, кстати, не требует подобия (хотя в школе, обычно, его и доказывают именно через подобие) - достаточно техники площадей. Поэтому решение годится для тех, кто уже прошёл площади, но ещё не прошёл подобия:

Строим равнобедренный треугольник, медиана которого равна АВ (в моём случае основание в два раза больше медианы, но это неважно)...

Решение, которое понравилось мне даже ещё больше, предложил мой ученик Егор Ганиев:

Построим произвольный равносторонний треугольник (строим отрезок CD, окружности радиуса CD с центрами в С и D; Е - любая точка пересечения окружностей).

Здесь использовалось, в числе прочего, построение треугольника по заданному периметру и углам (известная задача), но при доказательстве не нужны никакие факты, которых не было бы в школьной программе 7 класса.

Говорят, что существуют какие-то ещё более извращённые красивые решения. В принципе, это нормально, что одну и ту же задачу можно решить большим количеством различных способов.

А теперь задачка для самых смелых и стойких:

Разделите данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Решение смотрите в моём Telegram-канале:

Геометрия - это невероятно красиво, даже если я обычно так не считаю.