Решение неравенств с одной переменной методом интервалов.

Решение неравенств методом интервалов - это один из наиболее эффективных

способов решений неравенства. Давайте рассмотрим этот метод на примере неравенства:

x^2 - 5x + 6 > 0 

Приведение неравенства к стандартному виду.

Убедимся, что неравенство записано в виде, когда с одной стороны стоит выражение, а с другой - ноль: 

x^2 - 5x + 6 > 0 

Нахождение корней соответствующего уравнения.

Решим уравнение, полученное из неравенства заменой знака ">" на "=": 

x^2 - 5x + 6 = 0

где а = 1, b = -5, c = 6 подставляем: 

D = b^2 - 4ac = (-5) ^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1

x1 = (-b + √D)/(2a) = (-(-5) + 1)/(2*1) = 3

x2 = (-b - √D)/(2a) = (-(-5) - 1)/(2*1) = 2

Отсюда получаем два корня: 

x1 = 3

x2 = 2

Разбиение числовой прямой на интервалы. 

Корни уравнения разбивают числовую прямую на интервалы. В данном случае получаем три интервала: 

(- oо; 2), (2; 3), (3; +oo)

Проверка знаков на интервалах.

Выберем по одному тестовому числу из каждого интервала и подставим в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения на каждом интервале. 

1. Для интервала (-oo; 2) возьмем х = 1: 

1^2 - 5*1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 > 0 

Значит, на этом интервале неравенство 

выполняется.

2. Для интервала (2; 3) возьмем x = 2,5: 

2,5^2 - 5*2,5 + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0.25 

Значит, на этом интервале неравенство не выполняется. 

3. Для интервала (3; + оо) возьмем х = 4: 

4^2 - 5*4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 

Значит, на этом интервале неравенство выполняется. 

Запись ответа.

Исходя из проверки, неравенство выполняется на интервалах (- oo; 2) и (3; + оо). Таким образом, ответом будет: 

(- oo; 2) и (3; + oo)

Этот метод позволяет наглядно и точно определить, на каких интервалах выполня неравенство, и является очень полезным инструментом в алгебре.