Решение неравенств методом интервалов - это один из наиболее эффективных
способов решений неравенства. Давайте рассмотрим этот метод на примере неравенства:
x^2 - 5x + 6 > 0
Приведение неравенства к стандартному виду.
Убедимся, что неравенство записано в виде, когда с одной стороны стоит выражение, а с другой - ноль:
x^2 - 5x + 6 > 0
Нахождение корней соответствующего уравнения.
Решим уравнение, полученное из неравенства заменой знака ">" на "=":
x^2 - 5x + 6 = 0
где а = 1, b = -5, c = 6 подставляем:
D = b^2 - 4ac = (-5) ^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1
x1 = (-b + √D)/(2a) = (-(-5) + 1)/(2*1) = 3
x2 = (-b - √D)/(2a) = (-(-5) - 1)/(2*1) = 2
Отсюда получаем два корня:
x1 = 3
x2 = 2
Разбиение числовой прямой на интервалы.
Корни уравнения разбивают числовую прямую на интервалы. В данном случае получаем три интервала:
(- oо; 2), (2; 3), (3; +oo)
Проверка знаков на интервалах.
Выберем по одному тестовому числу из каждого интервала и подставим в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения на каждом интервале.
1. Для интервала (-oo; 2) возьмем х = 1:
1^2 - 5*1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 > 0
Значит, на этом интервале неравенство
выполняется.
2. Для интервала (2; 3) возьмем x = 2,5:
2,5^2 - 5*2,5 + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0.25
Значит, на этом интервале неравенство не выполняется.
3. Для интервала (3; + оо) возьмем х = 4:
4^2 - 5*4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0
Значит, на этом интервале неравенство выполняется.
Запись ответа.
Исходя из проверки, неравенство выполняется на интервалах (- oo; 2) и (3; + оо). Таким образом, ответом будет:
(- oo; 2) и (3; + oo)
Этот метод позволяет наглядно и точно определить, на каких интервалах выполня неравенство, и является очень полезным инструментом в алгебре.