Задача 141.
В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы одна фигура, причем на разных горизонталях—-разное число фигур. Докажите, что всегда можно отметить восемь фигур так, чтобы на каждой горизонтали и каждой вертикали стояла ровно одна отмеченная фигура.
Решение:
Из условия следует, что на некоторой горизонтали стоит ровно одна фигура, на некоторой другой — ровно две фигуры и т. д., наконец, некоторая горизонталь заполнена 8 фигурами. Пронумеруем горизонтали в соответствии с количеством стоящих на них фигур. Отметим на первой горизонтали ее единственную фигуру. Поскольку на второй горизонтали стоят две фигуры, хотя бы одну из них можно отметить. Так как на третьей горизонтали стоят три фигуры, то хотя бы одну из них можно отметить, и т. д. до восьмой отмеченной фигуры.
Задача 142.
Три трехзначных числа, в записи которых участвуют все цифры, кроме нуля, дают в сумме 1665. В каждом числе первую цифру поменяли местами с последней и получили три новых трехзначных числа. Чему равна сумма новых чисел?
Ответ: искомая сумма равна 1665.
Решение:
Сумма последних цифр трех исходных чисел равна 5, 15 или 25. Но 5 и 25 исключаются, так как они не представимы в виде суммы трех различных цифр (от 1 до 9), значит, остается 15. Следовательно, и сумма средних цифр, и сумма первых цифр также равны 15. Теперь ясно, что, сделав перестановку цифр, мы снова получим три числа, сумма которых равна 1665.
Напоследок предъявим тройку чисел (одну из возможных), удовлетворяющую условиям задачи: 159, 672, 834.
Задача 143.
Квадратный лист бумаги разрезали на 6 кусков в форме выпуклых многоугольников. Пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника. Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?
Решение:
Первый ответ, который приходит в голову: нельзя. Ведь затерялись пять кусков, а остался один! Но правильный ответ противоположен: восстановить исходный квадрат можно! Ввиду того, что потерявшиеся куски бумаги выпуклы, ни один из них не мог примыкать к восьмиугольнику по двум его разным сторонам. Значит, затерявшихся кусков должно быть не меньше числа тех сторон восьмиугольника, которые не проходили по границе листа бумаги. Следовательно, не меньше трех сторон лежат на границе листа. Но так как лист квадратный, эти три стороны попарно параллельны или перпендикулярны. Значит, это три стороны восьмиугольника, взятые через одну. Теперь мы видим, что наш квадрат получается из восьмиугольника приставлением четырех уголков (и, в частности, на границе листа лежат целых 4 стороны восьмиугольника). Но ведь потерялось 5 кусков!? Значит, один из уголков был как-то разрезан на две части.
Задача 144.
Укажите такие шесть точек на плоскости, каждые пять из которых можно покрыть двумя квадратами с диагоналями, равными 1, но все шесть нельзя покрыть двумя кругами диаметром 1.
Решение:
Расположим на плоскости единичный квадрат со сторонами, параллельными осям координат, и отметим в нем четыре вершины и две точки внутри: правее центра на 0,1 и ниже центра на 0,1. Легко убедиться, что любые пять точек можно покрыть двумя квадратами с диагональю 1. Далее заметим, что кругом диаметра 1 нельзя покрыть три вершины квадрата, поскольку тогда круг должен покрыть диагональ. Следовательно, каждый круг должен покрывать по две вершины квадрата. Пусть, например, один круг покрывает две левые вершины, другой—две правые. Тогда правая и левая стороны совпадают с диаметрами кругов, и отмеченная точка ниже центра останется непокрытой. При покрытии верхней и нижней пар вершин непокрытой остается точка правее центра.
Задача 145.
Шахматный король обошел шахматную доску, побывав на каждом поле по одному разу и вернувшись последним ходом на исходное поле. Докажите, что король сделал четное число диагональных ходов.
Решение:
Диагональным ходом король переходит с поля какого-нибудь цвета на поле того же цвета. Пусть из 32 ходов, когда король ступал на черное поле, k ходов были диагональными, т. е. король к раз ходил с черного поля на черное. Значит, (32-k) раз король ходил с белого поля на черное. Но так как король ходил с белого поля ровно 32 раза, то из них он ходил ровно k раз с белого поля на белое. Итак, король ходил с поля на поле того же цвета 2×k раз.
Задача 146.
На шахматной доске отмечаются два таких поля, что конь с одного из них может пройти на другое не меньше чем за 4 хода, а король — не меньше чем за N ходов. Какое наименьшее значение может принять N?
Ответ: N = 1.
Решение:
Два поля в углу доски обладают тем свойством, что конь может пройти с одного на другое за четыре хода, а король — за один.
Задача 147.
На шахматной доске размером 11x11 белых клеток на одну больше, чем черных. На черных клетках стоят 11 ладей. Докажите, что среди них есть две ладьи, которые бьют друг друга.
Решение:
Допустим на минуту, что никакие из 11 ладей не бьют друг друга. Тогда в каждом вертикальном ряду клеток и в каждом горизонтальном ряду клеток стоит по одной ладье. Значит, в вертикальных рядах с нечетными номерами стоит ровно шесть ладей. Но в таком случае эти шесть ладей стоят в пяти горизонтальных рядах с четными номерами. Следовательно, в одном из этих пяти горизонтальных рядов найдутся две ладьи, которые и бьют друг друга.
Задача 148.
Имеется кубик и шесть одинаковых крестообразных фигур, вырезанных из бумаги. Площадь каждой бумажной фигуры равна площади одной грани кубика.
Можно ли этими кусками бумаги целиком оклеить поверхность кубика?
Ответ: можно.
Решение:
На каждую грань кубика наклеивается одна из фигур так, как показано на рисунке, а затем все уголки загибаются.
Задача 149.
Шахматная позиция такова, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит нечетное число фигур. Докажите, что на черных клетках доски стоит четное число фигур.
Решение:
На черных полях вертикальных рядов доски с нечетными номерами ставим букву А, на остальных черных полях ставим букву В. На белых полях горизонтальных рядов с нечетными номерами ставим букву С.
Пусть число фигур, стоящих на А-полях, равно N, на В-полях — Tи на С-полях — K. В силу условия задачи (N + K) и (T + K) являются четными (в каждом горизонтальном ряду, где проставлены буквы Aи C, число фигур нечетно, а рядов 4; аналогичное утверждение верно для вертикальных рядов). Но тогда число N + T также четное, т. е. на черных полях стоит четное число фигур.
Задача 150.
Из девяти одинаковых квадратных карточек сначала сложили квадрат, а потом пирамиду. Оказалось, что при этом всякие две карточки, которые имели две общие вершины в первом расположении, сохранили одну из них общей (ту же самую) и во втором расположении. Покажите, как это было сделано.
Решение:
Без слов отсылаем вас к рисунку. Обратите внимание на то, что при последней процедуре «перекладывания» три карточки перевертываются и обращаются к нам «изнанкой».
Немного обо мне - ТУТ.
Поддержать проект №1.
Поддержать автора вообще.