Задание
Построить график уравнения:
{x} = {x}² + y²
(дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1).
Решение
Проведём равносильные преобразования уравнения:
{x} = {x}² + y² ⇔ y² = {x} – {x}² ⇔
Важно отметить, что извлечение квадратного корня из выражения ({x} – {x)²) (или из эквивалентного ему выражения {x}·(1 – {x}) ) допустимо только в случае его неотрицательности. Условие {x}·(1 – {x}) ≥ 0 выполняется при любом действительном х, что показано в решении задачи А-22.
Для построения графика уравнения рассмотрим два случая: когда y ≥ 0 и когда y < 0.
1) y ≥ 0
Тогда |y| = y и
Построение графика такой функции разобрано в решении задачи А-22:
2) y < 0
В этом случае |y| = – y и
График этой функции выглядит как зеркально отражённый вниз относительно оси абсцисс график для случая y ≥ 0, но с «выколотыми» на этой оси точками (из-за того, что требование y < 0 является строгим неравенством):
Ответом в задаче будет объединение двух изображённых кривых. Иными словами, график уравнения {x} = {x}² + y² является бесконечной последовательностью касающихся друг друга окружностей с радиусом в половину единицы, центры у которых расположены на оси абсцисс.
Ответ
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.