Экзамены не за горами, большая часть времени на подготовку уже позади. Сегодня предлагаю вам убедиться, что вы точно разбираетесь в формулах, которые будут полезны на ОГЭ по математике 2024. В первой части мы обсудили формулы алгебры (если не читали, советую ознакомиться здесь), сегодня речь пойдет о геометрии.
Не забудьте сохранить статью, чтобы не потерять!
Как и в предыдущей части, предлагаю начать со знакомства с формулами из «легальной шпаргалки». Для тех, кто не понимает, о чем речь: на ОГЭ по математике каждому ученику вместе с заданиями выдается листок под названием «Справочные материалы», в котором можно найти основные формулы из школьного курса алгебры и геометрии. В конце статьи об алгебре мы выяснили, что формул из этого раздела математики, которые не попали в справочные материалы, всего 9. А как обстоят дела с геометрией? На этот вопрос я постараюсь ответить в этой статье.
Предлагаю ознакомиться с формулами геометрии из «легальной шпаргалки». Каждому ученику будет доступна следующая информация:
1. Формула суммы углов выпуклого n-угольника
2. Формулы для нахождения средней линии в треугольнике и трапеции
3. Свойства описанной и вписанной окружностей правильного треугольника
4. Теоремы синусов и косинусов
5. Основные формулы для подсчета площади фигур
6. Формула длины окружности и площади круга
7. Основные формулы тригонометрии, а также таблица некоторых значений тригонометрический функций
Теперь давайте разбираться с тем, какие формулы понадобятся дополнительно.
Начнем с площадей. В дополнение к формулам из справочных материалов для успешной сдачи экзамена необходимо знать:
Итак, насчитали 8 формул. Предлагаю их обсудить. Формула Герона бывает полезна в задачах на нахождение площадей треугольников с известными сторонами. Эту формулу можно вывести на основе тех данных, которые есть в справочных материалах, однако, это не самый быстрый и простой процесс. Предлагаю попробовать сделать это в качестве упражнения. Чтобы было проще разобраться, оставлю для вас несколько подсказок: первым шагом стоит записать формулу для нахождения площади треугольника через синус. Нашли? Отлично. Теперь давайте посмотрим на Формулу Герона. Чем она примечательна? Вся ее правая часть состоит из корня, то есть нам обязательно понадобится какое-то преобразование, в результате которого он (корень) мог бы появиться. Вторая подсказка: чтобы получить корень нужно выразить синус из основного тригонометрического тождества (оно есть в справочных материалах). Поняли откуда корень? Если да, то продолжаем. Теперь давайте снова взглянем на формулу Герона. В ней нет никаких тригонометрических функций, а в нашей формуле пока есть. Нас это, разумеется, не устраивает. Итак, подсказка номер три: в справочных материалах есть формула, в которой описана связь между тремя сторонами треугольника и тригонометрической функцией, которая получилась в нашей формуле? Догадались? Если нет, то еще одна подсказка: формула, которую нужно найти называется «Теоремой косинусов». Напоминаю, что наша цель – получить формулу Герона, поэтому следующим шагом делаем преобразования таким образом, чтобы косинус, получившийся в нашей формуле, исчез. Получилось? Отлично, мы почти у цели. Последняя подсказка: перед корнем в полученной нами формуле остались коэффициенты. Внесем их под корень, немного (на самом деле достаточно много, но не сложно) преобразуем выражение и вуаля – формула Герона получена! Конечно, никто не запрещает вам просто выучить данную формулу. Но я все же рекомендую попробовать вывести ее самостоятельно, уверенна, вы не пожалеете. Это самая настоящая магия математики!
Две следующие формулы – формулы для нахождения площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружности – выводятся не так очевидно, поэтому предлагаю договориться: я не буду мучать вас их доказательствами, а вы пообещаете, что выучите их до экзаменов, идет?
Перейдем к формуле площади прямоугольного треугольника. По сути, эта формула является частным случаем двух других формул из справочных материалов. Давайте разберемся. Итак, мы знаем, что площадь любого треугольника можно посчитать двумя способами. Первый – площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Что такое высота? Из школьной программы нам известно, что высота – это перпендикуляр, то есть высота образует с основанием прямой угол. Что происходит, когда наш треугольник из любого превращается в прямоугольный? Высота становится катетом (ведь угол между катетами 90°). Вот и получается, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Второй способ заключается в работе с формулой для нахождения площади любого треугольника через синус. Итак, нам известно (из справочных материалов), что площадь любого треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. В прямоугольном треугольнике мы используем только половину произведения катетов, а синус почему-то нет. На самом деле формально он там тоже есть, но вот в чем фишка: угол между катетами 90°. А чему равен синус 90°? Единице! Ну разве не чудо? Отмечу для полноты картины, что некоторые источники отдельно выделяют формулу для нахождения площади равностороннего треугольника. Хотя по факту эта формула, также как и формула площади прямоугольного треугольника, не является уникальной. Попробуйте понять, как она получается в качестве упражнения (понадобится формула для площади через синус, и знание о том, какие углы имеет равносторонний треугольник).
Формулу для подсчета площади квадрата оставим без комментариев (формулу площади прямоугольников, надеюсь, все помнят, ее тоже оставим без внимания).
На очереди 3 формулы площади ромба. Остановимся на первых двух, но, прежде чем я докажу, что эти формулы учить не обязательно, разберемся немного с тем, что такое ромб. Итак, ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Тогда получается, что формулы для параллелограмма будут справедливы и для ромба. В справочных материалах можно найти 2 формулы для подсчета площади параллелограмма. Применяя их для ромба, с учетом равенства его сторон, получаются эти две формулы. Важный момент: любой ромб – параллелограмм, но не любой параллелограмм – ромб (иными словами, формулы ромба для параллелограммов работать не будут). Чтобы было понятнее, о чем речь, приведу более простой пример: любое яблоко – фрукт, но не любой фрукт – яблоко. Чувствуете разницу? Если да, то едем дальше.
Последняя формула в разделе площадей будет обделена нашим вниманием, поскольку встречается крайне редко. Однако знать ее все-таки стоит, тем более что она совсем не сложная.
С площадями разобрались. Еще одна порция формул для вас:
Знание этих формул может пригодиться на экзамене, хотя не могу не отметить, что в большинстве задач можно с лёгкостью справиться и без них. В справочных материалах есть формулы, работать с которыми гораздо приятнее и эффективнее.
Если вы дочитали до этого момента, поздравляю, мы очень близки к завершению. Осталось всего три формулы, а именно:
Если откровенно, в ОГЭ крайне редко можно встретить задачи, которые можно решить только зная эти три формулы. Понимаете, математика так устроена, что формулы имеют свой логичный вывод, основанный на других формулах и свойствах. Здесь ничего не появляется из ниоткуда, формулы, которые изучаются в школах, когда-то были получены учеными, они их не придумывали, нет, они их выводили и доказывали. И вы можете делать то же самое, главное не бояться искать нестандартные подходы и мыслить критически.
В заключение хочется добавить, что геометрия состоит не только из формул, но и из свойств, которые в этой статье рассмотрены не были. Обязательно поговорим о них немного позже. Более того, в некоторых источниках можно найти еще много страшных и сложных формул, которые в этой статье не представлены. Все дело в том, что при составлении данной статьи, я руководствовалась заданиями из открытого банка заданий ФИПИ. Этот источник, по моему мнению, самый подходящим для подготовки, так как он является официальным. Конечно, на просторах интернета можно найти много ресурсов для подготовки, но не стоит забывать, что в них уровень сложности а также сами формулировки заданий могут сильно отличаться от заданий реального ОГЭ. Это не значит, что они плохие и решать их не нужно. Нужно обязательно, чтобы нарабатывать фундамент и не бояться сложностей.
На этом я заканчиваю свой рассказ. Надеюсь, в этой статье вы открыли для себя что-то новое и интересное. Обязательно подпишитесь на канал и оставьте комментарий, если это так. И не забудьте ознакомиться с первой частью! Желаю успехов в подготовке к экзаменам. До новых встреч!