До экзаменов остаются считанные дни, а значит пора приводить знания в голове в порядок. Сегодня предлагаю поговорить о формулах, которые точно будут полезны на ОГЭ по математике 2024. Знаю не понаслышке, что многие девятиклассники приходят в ужас, когда видят, сколько всего предстоит выучить. Но не спешите пугаться, я постараюсь вас успокоить.
Не забудьте сохранить статью, чтобы не потерять!
Итак, начнем с разбора формул, которые учить НЕ НУЖНО. Почему? Они будут выданы на экзамене вместе с заданиями. По сути, у каждого выпускника на экзамене будет одна легальная шпаргалка, за которую не грозит никаких санкций. Однако, это не значит, что про них при подготовке можно забыть. Мало знать формулу, нужно уметь с ней правильно работать.
Поговорим немного подробнее о формулах из КИМ (контрольные измерительные материалы, иначе говоря, задания экзамена). На экзамене у каждого ученика в свободном доступе будут основные сведения как из алгебры, так и из геометрии. Сегодня поговорим об алгебре. Информацию о геометрии можно найти тут.
В справочных материалах любой ученик сможет найти:
1. Формулы решений квадратного уравнения и вытекающие из них формулы разложения квадратного трехчлена на множители
2. Формула для нахождения абсциссы вершины параболы
3. Основные формулы арифметической и геометрической прогрессий
4. Формулы сокращенного умножения
5. Свойства степеней и корней
6. Таблица квадратов.
ВСЕ сведения, представленные выше, будут в свободном доступе в момент проведения экзамена, поэтому они для нас сейчас не так интересны (интересно будет в конце). Самое время обсудить те вещи, которые должны быть не на бумажке, а в голове.
Начнем с формул сокращенного умножения. Да, на экзамене будет часть из них, однако, есть и те, которые все же придется выучить.
Итак, основные формулы сокращённого умножения, которые нужно знать для ОГЭ по математике:
1) Квадрат суммы: (a+b)² = a² + 2ab + b² (есть в справочных материалах)
2) Квадрат разности: (a-b)² = a² - 2ab + b² (есть в справочных материалах)
3) Разность квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b) (есть в справочных материалах)
4) Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) (НЕТ в справочных материалах)
5) Разность кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) (НЕТ в справочных материалах)
6) Куб суммы: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (НЕТ в справочных материалах)
7) Куб разности: (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (НЕТ в справочных материалах)
Откровенно говоря, формулы с пометкой “НЕТ” встречаются в КИМах довольно редко, однако это не исключает возможность того, что на экзамене они все же понадобятся. Если по каким-то причинам формулы 6-7 вылетели из головы (такое бывает) это не так страшно, ведь эти формулы можно вывести вручную. Для этого необходимо просто внимательно раскрыть скобки в выражении: (a+b)³ = (a+b) (a+b) (a+b) = … в случае 6 формулы, и (a-b)³ = (a-b) (a-b) (a-b) = … в случае 7 формулы.
Что касается суммы и разности кубов (4-5 формулы), здесь вывод формул представляется не такой очевидной задачей, однако есть способы немного помочь себе в их запоминании. Если внимательно посмотреть на вторую скобку в формуле 4 (сумма кубов), можно заметить, что она очень похожа на раскрытый вариант квадрата разности (который есть в КИМ), за исключением отсутствия двойки. Аналогичная ситуация происходит и со второй скобкой в формуле 5 (разность кубов), здесь практически точное повторение формулы квадрата суммы.
Для решения задания №14 на арифметическую прогрессию помимо формул из КИМ стоит знать дополнительно всего одну формулу, вторую формулу для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Эта формула бывает полезна в задачах, с известной суммой и неизвестным шагом прогрессии d. Кстати, забыть ее тоже совсем не страшно, если знать, как она выводится. Предлагаю попробовать получить ее самостоятельно, для этого нужно воспользоваться двумя формулами из справочных материалов и подставить в формулу суммы первых n членов формулу n-ого члена арифметической прогрессии.
Если с №14 повезло чуть меньше и попалась задача на геометрическую прогрессию, не спешите расстраиваться, формул из справочных материалов вполне хватит для решения большинства из них. Отмечу все же, что для полноты картины и лучшего понимания принципов работы геометрической прогрессии, стоит взглянуть на еще одну дополнительную формулу:
Формулы свойств степеней и корней будут полезны и тем, кто планирует набрать максимальный балл, и тем, для кого самое главное “переступить порог”, ведь задания, в которых они могут понадобиться, есть и в первой, и во второй части. Но самое главное, что и по этой теме большинство необходимых формул будет выдано на экзамене. Для сто процентной уверенности в себе рекомендую добивать в копилку еще свойство нулевой степени (оно, кстати, имеет безумно простое и весьма любопытное доказательство, рекомендую ознакомиться)
свойство отрицательной степи для дробей
и формулу связи степени и корня
Следующий раздел, который мы обсудим – решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Напугались? Ладно, сдаюсь, такого раздела нет в ОГЭ. А что же есть? Да на самом деле больше то и ничего… Нет, правда, это все! Надеюсь, вы заметили, как много информации на самом деле содержится в справочных материалах ОГЭ. Если точно, то для экзамена нужно выучить всего 9 формул из курса алгебры. Уверенна, что это не самая сложная задача. Конечно, одних формул недостаточно для успешной сдачи экзамена, для этого нужно оттачивать свои навыки, исследовать и развиваться. Надеюсь, эта статья поможет вам с этим!
Обязательно поставьте лайк, если статья была полезной и не забудьте подписаться. И, конечно, ознакомьтесь со второй частью статьи, в которой мы рассмотрели формулы по геометрии для ОГЭ по математике. Желаю успехов в подготовке к экзаменам. До новых встреч!