Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение \sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(4x^2-(4a+1)x+a) имеет один корень на отрезке [0;1]
Здравствуйте! Постараюсь сегодня показать, что параметр с досрока этого года ГОРАЗДО легче, чем кажется. А также он решается проще, чем можно увидеть в сети. Приступим
Начнем, как обычно, с свойств, которые мне потребовались для решения.
Есть два варианта, какую функцию сравнивать с нулем (либо f(x) либо g(x)). Мы выбираем то, что сравнить с нулем проще. Пока все прозаично.
Обратим внимание на второе неравенство. Его можно решить методом интервалов, ведь а - какое-то число. Но мы будем решать графически. Соответственно, будут две прямые а=х и а=-х и потребуется выяснить в каких именно частях плоскости будут решения этого неравенства. Далее я покажу, как это узнать.
Но пока рассмотрим первый ужасный ужас. Стандартно, без паники и группировок, найдем корни через дискриминант.
Настал момент изображения графиков. Вспомним про наши а=+-х.
Прямые разделили плоскость на 4 равные части. Нам потребуются какие-то симметричные части (либо верх-низ либо право-лево). Проверим какие именно.
Возьмем абсолютно любую точку и (я взяла 0;3) и подставим вместо х и а. Если равенство получилось верным - это наша область. Если неверным - наши области соседние.
Теперь построим прямые из верхнего уравнения.
Нам нужно будет искать одно решение между жёлтыми прямыми внутри области существования неравенства...🙂🔫. Я изобразила в бОльшем масштабе именно этот момент. Давайте взглянем.
Так вышло, что одна из границ области (а=х) является и корнем. Мы рассматриваем такие а внутри зеленой области, чтобы эта прямая пересекала либо синюю прямую, либо красную, либо пересечение и синей и красной. Визуально выяснили. Теперь посчитаем численно, где начало и конец границ и получим ответ.
Обратите внимание! Мы ищем корни ТОЛЬКО ВНТУРИ ЗЕЛЕНОЙ ОБЛАСТИ! Если где-то там (вне зеленого) тусуются красные и зеленые прямые - это их проблемы🤓😎
Спасибо за просмотр!
