Здравствуйте! Сегодня разберем решение вот такой интересной системы уравнений.
Задача: Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
(y^2-xy-9y+5x+20)sqrt(x+5)/(sqrt(7-y)=0; a=x+y имеет единственное решение.
Заданий, которые выглядят подобным образом несколько. Чтобы долго не ломать голову попробуем разбить выглядящую сложно дробь на элементы поменьше. Для начала Увидим ограничения по х и по у. Причем сверху подкоренное выражение может быть равно нулю (а значит, что помимо ограничения это еще и реально существующая прямая), а снизу -нет (прямая будет мнимая, служащая только барьером).
Самое сложное во всем этом задании - разложить на множители многочлен с x и у. Ориентиром может стать скобка, полученная при вынесении y (вторая строка).
Теперь из этого можно сделать линейные уравнения и перенести все это на плоскость. Первый график - набросок. Здесь нет ограничений, которые должны быть.
Сделаем уточненный график, где покажем, что выше у=7 и левее х=-5 жизни нет. А также выколем точки на прямых, которые столкнулись с пунктиром.
После того как рабочее пространство готово, нам предстоит изобразить вторую часть системы. Выразим оттуда у и увидим, что перед нами прямая, наклоненная на 135 градусов, где а - всего лишь точка пересечения прямой с осью у. Нам нужны такие участки, в которых красная линия пересекает одновременно все прямые только в одной точке.
Подсказка: важную роль имеют выколотые точки.
Первая функция, которую можно увидеть y=-x-6. Также отметим, что всё, что ниже тоже имеет только одну точку пересения (пересекает салатовую линию, а остальные прямые там уже не существуют из-за огранчений).
Далее нас интересует пересечение фиолетовой и бежевой. И после этого - все, что выше единственного пересечения с фиолетовой (а на продолжении красной прямой мы упираемся в выколотую точку, ура).
Таким образом, мы задаем множество а, при которых будет только одна точка пересечения с графиком (а вся эта сложна совокупность прямых - один график). Высчитывать аналитически здесь нет смысла так как прекрасно видно все точки на графике.
Спасибо за просмотр!
