Дугинов Л.А. L.duginov@mail.ru
Ключевые слова: новый метод расчёта системы нелинейных уравнений, проветривание рудничных вентиляционных сетей, центральная система проветривания, фланговая система проветривания, регуляторы расхода.
Введение
Чтобы корректно рассчитать любую сложную вентиляционную схему необходимо выполнить как минимум 2 условия:
- Надо знать (или определить) точные величины всех сопротивлений Rk и напорных элементов- Hk, входящих в состав этой схемы, либо (формулы) Rk=f(qk), Hk=f(qk), по которым можно рассчитать как они зависят от местных расходов воздуха -qk.
- Иметь в своём распоряжении проверенную и доступную методику расчёта системы нелинейных уравнений, составленную для описания данной вентиляционной схемы.
В приведённом ниже примере расчёта небольшой системы вентиляции шахтных выборок, я основной упор делал только на описание методики расчёта системы нелинейных уравнений, в качестве примера составленных для конкретной схемы (см. рис.1). Что касается величины всех сопротивлений Rk и напорных элементов- Hk, то единственная просьба автора сделать так, чтобы размерность этих величин соответствовала системе единиц СИ, то есть для Rk-(кг/м^7), а для Hk - (Па). Тогда будет понятно, как автор систему нелинейных уравнений превратил в эквивалентную систему линейных уравнений. Автор не ставил перед собой задачу определения правильных величин сопротивлений Rk и напорных элементов- Hk: приемлем любой способ-как теоретический, так и эмпирический.
Краткая информация о новом универсальном методе решения системы нелинейных уравнений в гидравлических расчётах
Более подробная информация об этом методе можно прочитать в опубликованных ранее статьях (см. л.1-2,4). Ниже приводится вывод итерационной формулы на базе которой выполняется весь процесс вентиляционного расчёта.
Введём обозначения: dH-падение давления на участке, (Па). Z- квадратичное объёмное массовое сопротивление, (кг/м^7). ZL-линейное объёмное вентиляционное сопротивление, (кг/(м^4*с)). Q- расход среды через участок, (м^3/с)
Комментарий к формуле (4)
Решить нелинейную систему уравнений, путём перевода её в линейную по формулам (3) или (4) сразу за одну итерацию не получится, так как для этого для каждого участка схемы нужно знать точное значение расхода Q или падение давления на участке dH, то есть надо знать заранее решение этой системы нелинейных уравнений. Это по-видимому, и заставило математиков, занимающихся гидравлическими расчётами, отбросить эту идею как неперспективную, или как говорил Фридрих Энгельс: вместе с мыльной водой выбросить из ванночки и ребёночка, которого там мыли. Видимо, задачи математики и физики- это как говорят в Одессе: две большие разницы. Поэтому, только в 1975 году стараниями группы инженеров (не математиков) появилась статья в журнале " Электротехника" №12, где впервые была опубликована формула (4) и на базе которой представлена первая программа гидравлического расчёта. Естественно, расчёт был итерационный (см. л.1).
Для 1-ой итерации величина линейного сопротивления ZLi (для всех i-тых участков) задаётся численно равной величине квадратичного сопротивления Zi. Это допустимо, так как опыт расчётов показывает практическую независимость величины конечных результатов (только по числу итераций) от начальных значений линейных сопротивлений ZLi. В процессе итерационного расчёта (в общем случае) для каждой итерации выполняется перерасчёт величины ZL по формуле (4), до тех пор пока величины Z и dH не стабилизируются по величине. Обычно это происходит за 5-10 итераций. При этом, следует указать, что уже после 2-й итерации все расчётные значения входят в зону конечных величин, а далее плавно приближаются к правильному ответу.
В заключении этой краткой истории создания итерационной формулы (4) могу только добавить, что все попытки создать равноценный математический метод решения гидравлических задач на базе формулы (3) (до 1975 года и после него) так и не увенчались успехом. Видимо, при решении физических задач первую скрипку в этом оркестре должна играть всё же - физика и соответственно-физики. Математики возможно понадобятся потом-для разработки деталей процесса и оформления научных статей.
Расчёт центральной системы проветривания
На Рис.2 на примере ветви №15 показан типичный пример того как быстро и плавно сходятся величины расходов в всех 22 ветвях схемы замещения.
Расчёт фланговой системы проветривания
На Рис.3 на примере ветви №15 показан типичный пример того как быстро и плавно сходятся величины расходов в всех 22 ветвях схемы замещения с регуляторами расходов в ветвях № 9-22.
Выводы
- При подготовке исходных данных для 1-ой итерации величины линейных сопротивлений ZL (на всех участках схемы) рассчитываются по формуле (3): ZL=Z*Q. Величина расхода Q ,берётся равной Q=1, тоже для всех участков. То есть, величины квадратичных сопротивлений-Z и линейных -ZL численно приравниваются. Это свободно допускает, описанный выше алгоритм расчёта, и к тому же очень удобно: не надо думать о величине начальных расходов Q для 1-ой итерации.
- Полученная таким образом, система линейных уравнений решается методом контурных расходов. В результате получаем все необходимые данные для второй и последующих итераций, в которых на всех участках схемы расчёт линейных сопротивлений ZL идёт уже по формуле (4). Коздоба Л. А (см. л.5) и другие авторы похожих методик расчёта в качестве итерационной формулы применяли только формулу (3), чтобы расчёт не зацикливался уже после 2-й итерации они вынужденны были усреднять расходы 2-х ближайших итераций по формуле: Q(i+1)=(Qi+Q(i-1))/Kуср. (здесь i-номер текущей итерации). Коздоба Л. А просто брал Kуср=2. Другие соавторы похожих методик сами изобретали свои формулы усреднения расходов Q(i+1) по 2-м ближайшим итерациям. В тоже время расчёт линейного сопротивления по итерационной формуле (4), как показывает многолетняя практика не требует никаких усреднений, а сам процесс сходимости носит плавный характер уже после 2-3-й итерации (см. рис.2 и 3).
- При расчёте фланговой системы проветривания рудничной вентиляционной системы в ветвях № 9-15 включены регуляторы расхода воздуха, так чтобы они устанавливали расход q15 в 2 раза меньше расхода q2, а в q14 в 4 раза меньше, расхода q2, в q13 - в 8 раза меньше, расхода q2 и так далее, вплоть до 9 ветви. Раньше в регуляторах расхода устанавливали только постоянное значение фиксированного расхода Q. Работу регулятора по заданному закону с неизвестным расходом q2 очень трудно организовать в других методах расчёта. Следует ещё указать на важную особенность работы регуляторов в случае, когда заданная величина расхода qk в регуляторе не может быть достигнута, при данной пропускной способности схемы. В этом случае устанавливается только его максимально возможная величина qk. И расчётчик должен понимать, что для получения заданной величины qk, необходимо либо увеличивать напор Hk, либо менять величину линейных сопротивлений, влияющих на расход в данной ветви.
- На вопрос, почему так надёжно работает этот метод расчёта, вряд ли полностью ответят математики, скорее всего ответ на этот вопрос должны дать люди, глубоко понимающие всю физику данного процесса. Как показывает многолетняя практика вентиляционных расчётов, линеаризация нелинейных уравнений путём ввода и расчёта линейных сопротивлений было правильным направлением, только при поиске формулы расчёта (4) надо было больше ориентироваться на физику, чем на математику.
Список литературы
- Дугинов Л. А., Шифрин В. Л. и др. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
- Аврух В. Ю., Дугинов Л. А. Теплогидравлические процессы в турбо- и гидрогенераторах. – М.: «Энергоатомиздат»,1991. C. 50–55.
- Козырев С.А., Осинцева А. В., Амосов П. В. Управление вентиляционными потоками в горных выборках подземных рудников на основе математического моделирования аэродинамических процессов. "Кольский научный центр российской академии наук", Апатиты 2019.
- Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
- Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972
- Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва, «Машиностроение» 1991