Задание
Когда астрономы определили массы и размеры Земли и Луны, встал вопрос о том, почему средние плотности планеты и спутника так различаются – у Луны эта величина оказалась заметно меньшей. Одной из попыток объяснения данного факта была гипотеза (ныне отвергнутая научным сообществом из-за своей несостоятельности), что Луна полая внутри, хотя и состоит из такого же вещества, что и Земля.
Исходя из фантастического предположения, что внутри Луны действительно есть одна большая сферическая и совершенно пустая полость и считая среднюю плотность вещества Луны равной средней плотности Земли, найдите радиус этой гипотетической полости (в % от лунного). Радиус Луны в 3,67 раз меньше земного, а её масса – в 81,3 раза меньше массы планеты.
Решение
По условию задачи массы и радиусы планеты ( ⨁ – Земля) и спутника
( ☾ – Луна) соотносятся следующим образом:
Средняя плотность ρ Земли равна
Пусть V – полный объём Луны, а V₀ – объём полости внутри неё, тогда (V – V₀) – объём вещества Луны. С учётом равенства его плотности ρ, масса спутника может быть выражена следующим образом:
где R₀ – радиус полости. С учётом известных соотношений масс и радиусов планеты и спутника получаем:
Сокращая массу Луны и заводя куб радиуса Луны в скобки имеем:
В задаче требуется найти, какую долю радиус полости составляет от радиуса Луны. Для удобства обозначим эту величину как k:
Таким образом
Решая это уравнение получаем:
Остаётся подставить в полученную формулу численные данные:
Ответ
73,2%
Комментарий
Средние плотности Земли и Луны (5518 кг/м³ и 3340 кг/м³ соответственно), о которых упоминается в условии задачи, несложно найти в справочнике (см. издание: Енохович А.С. Справочник по физике. М.: Просвещение, 1978. – 415 с.) – оттуда же были взяты значения масс и радиусов. С учётом среднего радиуса Луны (1737 км) получается, что радиус предполагаемой полости внутри неё должен составлять 1737·0,732 ≈ 1270 км. Существуй такая пустота внутри нашего спутника на самом деле, прочности слагающих его пород не хватило бы для противостояния собственной же гравитации и Луна неизбежно обрушилась бы внутрь самой себя («схлопнулась»), став более компактным, но при этом сплошным телом.
На сегодняшний день состав и внутреннее строение естественного спутника Земли рассматриваются неотъемлемо от истории его образования. С учётом всего накопленного комплекса данных, в том числе – результатов анализа образцов лунных пород, доставленных в земные лаборатории американскими космонавтами и советскими автоматическими станциями, ныне доминирующей является гипотеза, объясняющая возникновение Луны как результат произошедшего на заре формирования Солнечной системы катастрофического столкновения прото-Земли с Тейей – гипотетическим небесным телом (планетезималью). Подробнее об этом можно узнать на интересном ютуб-канале «Космос просто», видеоролик на котором с названием «Странная история теории искусственной Луны» меня и вдохновил на формулировку предложенной выше задачи.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.
НОВОСТИ КАНАЛА
↻ Немного расчётов, касающихся обустройства одной из ближайших планет.