Интерполяцией и аппроксимацией называют процедуру нахождения аналитической функции, соответствующую экспериментальным данным. Например, наблюдая за некоторым финансовым индексом, можно заметить, как его цена каждый день увеличивается. Если график цены от дня похож на какую-нибудь простую аналитическую функцию, можно подобрать функцию, которая будет либо совпадать с экспериментальными точками, либо будет близкой к ним. В случае полного совпадения функции в точках, где даны экспериментальные данные, говорят, что экспериментальная зависимость интерполирована, а в случае примерного совпадения (с некоторой допустимой величиной ошибки) найденная функция называется аппроксимирующей. Если найдена интерполирующая или аппроксимирующая формула, она может быть рассмотрена не только в точках, отвечающих экспериментальным данным и интервалах между ними, но и за пределами экспериментальных данных. Такое продолжение функции за пределы данных называют экстраполяцией. Если экстраполяция относится к временному ряду, то в отношении прошлого применяют (не так уже часто) термин ретрополяции.
Интерполяция (точное совпадение обычно гладкой функции с экспериментальными точками) чаще всего применяется исключительно для визуализации и зачастую даже нежелательна, поскольку может создать неправильное впечатление о подробности экспериментальных данных. С другой стороны, интерполяционные формулы используются для построения квадратурных форм и для численных методов интегрирования. Но здесь не об этом. Всем, наверное, известно, что через две точки на декартовой плоскости можно провести одну и только одну прямую. Значит, если в нашем эксперименте есть всего два значения в разных точках, мы можем легко придумать линейную интерполяцию (провести линию через две точки). Можем ли мы через две точки провести, например, окружность? Да, но есть проблема: мы можем провести бесконечное количество окружностей по двум точкам. Вообще, чем сложнее данные, тем более сложной функцией возможно их интерполировать. Если, например, три точки не лежат на одной прямой, через них можно провести параболу или окружность. Есть одна примечательная закономерность: через n точек можно провести степенную функцию (n-1)-го порядка. Существуют общедоступные формулы, по которым можно найти такую степенную функцию, здесь не буду нагромождать статью этой информацией.
Многие закономерности в природе являются довольно простыми, но их измерение дает данные, которые невозможно интерполировать простыми функциями из-за погрешностей измерения, погрешностей метода измерения, влияния посторонних факторов на измеряемый процесс и др. Если мы найдем идеально совпадающую с экспериментом аналитическую функцию, она будет полезна только для визуализации данных, но не будет полезной для экстраполяции и ретрополяции данных (для описания закономерности за пределами измеренных значений). Аппроксимация в задачах, связанных с реальным миром оказывается часто гораздо полезнее интерполяции, поскольку аппроксимирующая функция обычно проще исходных данных. Если мы заметим, например, что ускорение некоторого тела почти линейно зависит от силы, действующей на тело, то с помощью аппроксимации серии экспериментов можем найти коэффициент пропорциональности между этими величинами (массу этого тела). Такой вот странный способ взвешивания:)
В этой статье нет ни одной формулы, насколько вам, мои читатели, полезны такие публикации?:)
Подписывайтесь на мой канал, тут я стараюсь обеспечивать хорошую обратную связь с подписчиками:)