Здравствуйте! Сегодня у нас на разборе параметр, который в добровольно-принудительном порядке решают все мои ученики, как только мы с ними приступаем к этой теме. Познакомьтесь:
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x^4-16x^2+64a^2)^(1/2)=x^2+4x-8a имеет ровно 3 решения.
Корень чётной степени из числа не может быть отрицательным и мы прописываем это ограничение. Вообще, первое, что нужно всегда сделать (в любом задании!) - понять будет ли здесь ОДЗ, какое и как его записать.
Доводить до ума это выражение не имеет смысла так как выразить можно как относительно х, так и относительно а. Сейчас это не главное. Важно помнить, что ограничение в принципе существует и не забыть к нему вернуться.
Делать нечего, возводим обе части в квадрат:
Навык разложения на множители- один из ценнейших. Теперь наглядно видно, какие будут корни. Найдем их и покажем:
Так вышло, что два корня не зависят от а. Это значит, что они уже являются ответами! Вопрос задачи был поставлен так, что уравнение имеет ровно 3 решения. Два из них у нас есть, осталось найти третий. Причем он не должен совпадать ни с одним из имеющихся, иначе это будет всего два решения:
Теперь вернемся к ОДЗ и подставим туда наши иксы, получим область существования а:
И объединим эти смелые высказывания на одной прямой:
Готово! Никаких графиков, дискриминантов с а и триллиарда вычислений. Очень красиво и пошагало.
Спасибо за просмотр!
