Этот нелепый вопрос показывает, что человек, его задавший, либо не владеет математикой, либо, зная механику мнемонического правила, обучает намеренно неверно своих учеников.
13 апреля 2021 года, то есть ровно три года назад я опубликовала статью, вызвавшую резонанс среди моих читателей. Ниже ссылка на неё.
Статья называется "9 "подводных камней" в обучении математике - вот почему детям она кажется сложной".
В ней я опубликовала результаты моего исследования на тему о том, почему детям сложно даётся математика. К сожалению, выводы оказались, скорее, в пользу детей, а не взрослых, их обучающих. Бестолковое иногда преподавание математики может нанести вред ученикам, вызвав у них, во-первых, негативные эмоции, во-вторых, заниженную самооценку.
Когда мы с учениками отрабатываем темы, в которых нужно владеть навыками решения уравнений и (или) неравенств, возникает ситуация, требующая замены одного "сложно" составленного уравнения или неравенства другим, более "простым". Замена одного уравнения (неравенства) другим может быть легко осуществлена, если учитель акцентировал внимание школьника на так называемых "равносильных преобразованиях". К великому моему сожалению, ни один мой ученик не был с ними знаком до общения со мной. Ни один.
Что происходит на уроке (со слов детей)?
Учителя заставляют запоминать мнемоническое правило, называемое "переносом слагаемых", не утруждая себя и детей разбором его механизма. А потом удивляются, почему в каждом уравнении (неравенстве) школьники допускают ошибки. Если школьник не понимает, почему знак слагаемого при "переносе" его через знак "равно" меняется на противоположный, и начинает задавать вопросы, ему советуют просто это правило запомнить. Посмотрите, к чему такое запоминание может привести. Ниже я покажу, что происходило на моих уроках. Прошу прощения за то, что не могу предъявить вам все подлинники записей ребят. Мне не хотелось некоторых из них травмировать (им и так не сладко), поэтому в те разы я просто поставила в памяти галочки, чтобы рассказать вам, уважаемые читатели, о том, к чему может привести безобъяснительное изучение математики.
Итак, на первой картинке решение, присутствующее у многих ребят. Что происходит? Берём и "переносим" слагаемые, согласно алгоритму: влево - с иксом, вправо - без него.
Это неправильно. У слагаемого "5х" слева должен быть "минус", и у слагаемого "10", записанного справа от знака "равно", "минус" тоже потерян.
На второй картинке сразу каскад ошибок. У слагаемого "- 3х" пропал знак "минус", "минус" не появился у слагаемого "8х" слева и у слагаемого "4" справа.
На третьей каринке ученик запомнил, что знак слагаемого при "переносе" через знак "равно" нужно поменять, но почему-то отнёс это правило только к слагаемому "х", а про слагаемое "- 6" забыл или воспринял разность "х-6" как единую конструкцию, хотя эта разность не записана в скобках.
На четвёртой картинке просто взял и всё, что было справа, записал слева, не обращая внимания на знаки математических действий. "Перенёс" же!
И это, конечно, неправильно.
Я привела примеры попыток решений заданий по алгебре. Однако, часто можно услышать такие реплики учеников: "У меня всё хорошо с алгеброй, а вот геометрия не идёт". Ребята не понимают, что "не идёт" не только из-за их нежелания УЧИТЬ этот предмет, но и потому, что им не хватает вычислительных навыков, именно, алгебраических.
Вот посмотрите. Сегодня девочка-умница, семиклассница, которая в школе успевает на 4 и 5, выдала вот такое решение задачи по геометрии.
Что она сделала? "Перенесла" 20 вправо, сложив 20 с числом 32. Она даже не задумалась, как можно получить в ответе положительное число, бОльшее суммы этого числа и другого положительного числа.
Но ведь в школе не учат думать!
Почему это происходит?
Я думаю, что ответ нужно искать в начальной школе. Это моя точка зрения, и Вы можете с ней не согласиться. Объясню. Мучаясь сегодня с решением линейных уравнений, я задала простой вопрос ученику тоже седьмого класса. "Скажи, пожалуйста, как найти число 5, зная, что 5 плюс 3 равно 8?"
Ответ последовал молниеносный: "Нужно из восьми вычесть три". "Молодец, - похвалила я его. - А почему?"
Этого моего вопроса он уже НЕ понял. Его мозг выполнил работу АВТОМАТИЧЕСКИ, зная правило, которое учителя начальной школы ЗАСТАВЛЯЮТ ВЫУЧИВАТЬ НАИЗУСТЬ, при этом СКАНДИРУЯ ЕГО ВСЛУХ ВСЕМ КЛАССОМ: "Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое".
Я не против заучивания вслух правил, более того, скажу, что это весьма полезно, ведь в этом случае помимо "зрительной памяти" (УВИДЕЛ) мы прокачиваем "слуховую память" (УСЛЫШАЛ), а если ещё подключить и "двигательную память" (НАПИСАЛ), то нужное запомнится легко. Речь сейчас не об этом, а о том, что ребёнок не понимает механизма этого правила. Почему нужно вычесть из восьми три, чтобы получилось число 5. Он этого НЕ ПОНИМАЕТ.
Для объяснения мы в таких случаях переходим к "предметным представлениям", то есть моделируем ситуации с различными элементами окружающего нас мира. Например, предлагаем ответить на вопрос: "Сколько останется у тебя конфет, если их было 8 штук, а ты угостил друга тремя из них?" Ребёнок представляет горсть конфет и сам процесс передавания сладости другому человеку. И считает. Такое объяснение подводит его к пониманию того, что число 5 может быть уравнено с разностью 8-3.
Конечно, младшие школьники далеки от понимания равенства как бинарного отношения со всеми присущими ему свойствами рефлексивности (быть равным самому себе), симметричности (если первый объект равен второму, то второй равен первому), транзитивности (если первый объект равен второму, а второй равен третьему, то первый равен третьему). Так далеко в школьном курсе учителя не заходят.
Но хорошие учителя стараются привить у малышей понимание того, что с введением знака "равно" устанавливается сравнение между ДВУМЯ математическими (я сейчас говорю лишь о математике) объектами.
Начальная школа рассматривает числовые равенства, и дети совершают первые открытия, связанные с ними. Оказывается, есть верные и не верные числовые равенства. Понимание этих двух идей, привитых учителем в начальной школе, позволяет переходить на более высокие уровни обучения с появлением чисел, записанных буквами.
В чём же заключается ОСНОВНАЯ ПРОБЛЕМА школьников при изучении уравнений?
В том, что буква не воспринимается ими как число (ИМХО). По моим наблюдениям, она у многих школьников ассоциируется с неким абстрактным объектом, сказочным "мистером Икс". Сейчас пришла в голову мысль, что как раз обозначение неизвестного в уравнении буквой х (икс) из латинского алфавита оказывает плохую услугу в понимании этой темы. Вспоминается художественный фильм "Мистер Икс" с Георгом Отсом в главной роли и его незабываемая ария.
Так что же стоит за "чудесным" мнемоническим правилом "переноса слагаемых из одной части уравнения в другую"?
Всё та же идея УРАВНИВАНИЯ двух объектов.
Давайте разберёмся, что происходит на самом деле, когда мы говорим: "При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую нужно поменять его знак на противоположный"?
От этого предложения, честно, идут мурашки по всему телу.
Во-первых, само слово "перенос" требует рассмотрения. Ну, нет такой математической операции. Известны многие математические операции, наделённые определёнными свойствами, например, сложение чисел, умножение чисел, извлечение корней различной степени из чисел, возведение числа в некоторую степень, применение к числу логарифма по некоторому основанию и т.д. Перечисленные (и не перечисленные) математические операции определены на некоторых числовых множествах, они обладают рядом свойств. Что можно сказать про "перенос слагаемых" из одной части уравнения в другую? НИЧЕГО.
Во-вторых, какой смысл вкладывает учитель во фразу "нужно поменять его знак на противоположный"? Я не знаю. Но, полагаю, что заставляя детей заучивать наизусть эту нелепость, он сам не понимает, что происходит.
Я же не перестаю учить детей тому, что числа 1 и (-1), 5 и (-5), a и (-a) разные. Это не прихоть - захотеть нарисовать или "отбросить" знак "минус". Я всегда сравниваю знак "минус" с родинкой на лице. Её нельзя убрать (не известно, к чему это может привести). Конечно, я напоминаю о том, что выше приведённые в качестве примеров числа расположены на числовой прямой по разные стороны от нуля, но на одинаковом от него расстоянии.
Обратите внимание, я намеренно выделила числа, входящие в рассматриваемые пары (1 и (-1), 5 и (-5), a и (-a)) разным цветом, а дуги, соединяющие их с нулём, - одним цветом.
Операции "сложения" (здесь и дальше я буду говорить об операции сложения двух и более ЧИСЕЛ) присуще одно замечательное свойство. Если сложить число а с противоположным для него числом (-а), получится так называемое нейтральное число 0:
Именно это свойство операции "сложения" и применяется при решении уравнений (неравенств) вместе с идеей уравнивания двух математических объектов.
Я только что придумала название свойства этой операции сложения (на авторство не претендую, но вдруг).
Я назвала его ПРОЦЕССОМ НЕЙТРАЛИЗАЦИИ.
Здесь важно понимать, что всё, что мы проделываем с одной частью уравнения, следует проделывать и с другой. Одновременно. Иначе ни о каком уравнивании речи идти не может. В этом суть "метода весов". Современному школьнику это сложно представить до тех пор, пока у него не появятся лабораторные работы на предмете "Физика", где он, наконец, сможет вживую процесс уравнивания чаш от весов увидеть. Но ему об этом можно РАССКАЗАТЬ. Сняли гирьку с одной чаши - равновесие нарушилось. Сняли равные по массе гирьки с обеих чаш - ничего не изменилось. Так же работает этот метод и при решении уравнений. Прибавлять и вычитать одинаковые числа, одинаковые слагаемые, одинаковые выражения нужно ОДНОВРЕМЕННО К ОБЕИМ ЧАСТЯМ УРАВНЕНИЯ (это одно из преобразований над частями уравнения, называемое равносильным).
Давайте вернёмся к тем уравнениям, которые я привела выше в качестве примеров, и посмотрим, что же на самом деле происходит при "переносе" слагаемых.
Ещё пример.
И ещё один пример.
На первый взгляд кажется, что это длинно, долго. Может, и так. Но это процесс, который заставляет не выполнять математические действия бездумно, механически, только запоминая формулы и правила. Ведь цель обучения математике (ИМХО) заключается в формировании способностей человека, позволяющих ему думать, анализировать, выстраивая логические цепочки, развивать абстрактное мышление.
К сожалению, в современной школе цели другие - подготовить школьника к очередной проверочной работе, к экзамену, чтобы "не ударить в грязь лицом" перед Управлением образования своего населённого пункта.
Если статья оказалась полезной для Вас, буду благодарна лайку.
Донатам тем более буду благодарна за любую сумму на счёт в Сбере (желательно для чека указать электронный адрес для его пересылки)
5228 6005 2176 4482