Все задания №15 охватывают большую тему "Треугольники". Значит, прежде чем приступить к выполнению предложенных в Банке заданий ФИПИ вариантов, вспомним теорию по данной теме.
Какие бывают треугольники?
Далее, с какими геометрическими элементами (понятиями) мы встречаемся при работе с треугольниками?
И еще один значимый элемент треугольника:
Отдельный разговор будет про прямоугольный треугольник. Важно запомнить, как обозначаются (называются) его стороны.
Ну, а теперь приступим к рассмотрению практических заданий. Все задания взяты непосредственно из Банка заданий ФИПИ.
ЗАДАНИЕ №1
Медиана равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают по построению. Медиана, высота и биссектриса равностороннего треугольника находится по единой формуле:
Решение задания:
ЗАДАНИЕ №2
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Применяем наши знания теоремы Пифагора:
Решение задания:
ЗАДАНИЕ №3.
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
ЗАДАНИЕ №4.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=16, AВ=40. Найдите sinB.
Немного теории по данному заданию:
ЗАДАНИЕ №5.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=7/12, AB=48. Найдите AC.
ЗАДАНИЕ №6.
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
Немного теории по данному заданию:
ЗАДАНИЕ №7.
В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC=108°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Решение задания:
Немного теории:
Задание №8.
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=48, AD-биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение задания:
Биссектриса АD делит угол пополам.
48/2=24
Ответ: 24
ЗАДАНИЕ №9.
В треугольнике ABC угол C равен 97°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение задания:
Немного теории:
ЗАДАНИЕ №10.
В треугольнике два угла равны 54° и 58°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
54+58=112
180-112=68
Ответ: 68
Немного теории:
ЗАДАНИЕ №11.
В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=15, sin∠ABC=49. Найдите площадь треугольника ABC.
Немного теории:
ЗАДАНИЕ №12
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AВ равна 42, сторона BC равна 44, сторона AC равна 62. Найдите MN.
Решение задания:
МN=AC/2
MN=62/2=31
Немного теории:
Задание№13
В треугольнике ABC известно, что AC=40, BC=30, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение задания:
Немного теории:
Опираясь на разобранные задания попробуйте самостоятельно выполнить следующие варианты. Ответы даны для проверки правильности выполнения:
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Ответ: 50
2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 26°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 64
3. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 7 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Ответ: 24
4.
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC=19°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 71
5. Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 124
6. Высота равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Ответ: 26
7. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=86°, AD —— биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 43
8. В треугольнике ABC известно, что AC=34, BM —— медиана, BM=26. Найдите AM.
Ответ: 17
9. В треугольнике ABC угол C равен 90°90°, BC=14, AB=20. Найдите cosB.
Ответ: 0,7
10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=9/14, AB=42. Найдите BC.
Ответ: 27
11.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, AB=40. Найдите sinB.
Ответ: 0,2
12. В треугольнике ABC известно, что AC=30, BC=16, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Ответ: 17
13. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 31, сторона BC равна 42, сторона AC равна 50. Найдите MN.
Ответ: 25
14.
В треугольнике ABC угол C равен 177°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 3
15. В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=12, sin∠ABC=1/4. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 9
Успехов в учебе!