Видео, к которому прилагается данная статья: https://dzen.ru/video/watch/66048890e2c17d066112d8c0?share_to=link
Введение
Итак, данный интеграл находится в учебнике в разделе "смешанные задачи на интегрирование". Подразумевается, что при решении может потребоваться любой из известных способов взятия интегралов. Какие они вообще бывают?
- Метод замены переменной;
- Внесение под знак дифференциала (работает приблизительно как метод замены переменной);
- Интегрирование по частям;
4. Непосредственное интегрирование (просто берем таблицу и делаем дело).
Также существуют вспомогательные приемы, которые призваны упростить выражение. Это уже более глубокая тема, на я все равно укажу, какие интегралы можно брать вполне стандартно:
- Интегрирование рациональных дробей;
- Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций;
- Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Все вышеперечисленное входит в понятие смешанного интегрирование. В каждом таком интеграле может встречаться несколько методов и приемов, которые нужно применить.
В видео я заранее указываю, какие именно пункты таблицы интегралов нам потребуются. Вне зависимости от того, как именно мы интегрируем - это всего лишь упрощения выражения до табачных интегралов, поэтому таблицу нужно либо знать либо держать под рукой.
Нам нужны пункты 3, 4 и 11. Также помним, что константу выносим за знак интеграла без каких-либо проблем и умеем делать полный квадрат.
Летсго!
Существуют два лагеря: те, кто делают бесконечные замены, и те, кто вносит функции под знак дифференциала. Угадайте, в каком я))). Так как я давно преподаю, то необходимость максимально наглядно показывать действия уже стало основной привычкой, а ничего более наглядного, чем замена, пока не придумали.
Проблема первоначального выражения в том, что перед нами как минимум две разные функции: lnx и x. Но когда вспоминаем, что (lnx)'=dx/x - это перестает быт проблемой)) Вся голая часть становится просто dt.
Далее у нас все равно очень сложное подкошенное выражение. По-хорошему от него тоже надо избавиться. Если взять производную от t^2 останется просто t, оно у нас наверху, поэтому можем кое-как что-то там подогнать. Желтым выделено то, что должно быть (-2t+4) и что есть (просто t). Руки в ноги и колдовать:
Суть следующая: если раскрыть итоговые скобки и привести подобные слагаемые, то получится t, но мы его выразили так, чтобы при этом скобка была как в замене на m. Магия вне Хогвартса, не иначе.
После такого перформанса у нас остался "хвост" в виде 2. Давайте разделим на два интеграла через сумму, первую часть заменим на m и dm, а со второй продолжим думать.
Уметь выделять полный квадрат при интегрировании - это база, с которой и надо начать при изучении этой темы. Полный квадрат - одна из двух формул сокращенного умножения:
При выделении полного квадрата всего останется "хвост". Если, конечно, это не полный квадрат изначально.
У второго слагаемого вместо dt я написала d(t-2) так как именно такой "икс" у нас в знаменателе и потому что производные от t и t-2 равны, значит ничего у меня и не изменилось, кроме вида.
Выполняем все обратные замены:
Спасибо за внимание! Если остались вопросы, пишите!