Задача №169
В игре №3 мы должны найти выигрышную стратегию для следующей задачи:
Возьмите лист в крупную клетку. Пронумеруйте на нем клетки на одной полосе последовательно от 0 до 15. На любую из пронумерованных клеток поставьте фишку, которую игроки будут последовательно передвигать влево (к нулю). Каждый игрок может передвигать фишку только:
первый вариант игры: на 2 или 5 клеток;
второй вариант игры: на 1, 2 или 4 клетки;
третий вариант игры: на 2, 4 или 7 клеток.
Выигрывает тот, кто поставит фишку на ноль.
Вопрос: при каком начальном положении фишки выигрывает начинающий, а при каком второй игрок?
Примечание: варианты игры не смешиваются, то есть, оба игрока делают ходы только по одному из вариантов, выбранному в начале игры.
Способ выбора «выигрышных» и «проигрышных» вариантов мы уже разбирали в решении к игре №2 (см. «Задача №168. Математические игры»)
Рассуждать и действовать будем аналогично.
Полоска в клетку, по которой необходимо передвигать фишку, для нас неизменна:
«Выигрышные» для начинающего позиции, то есть позиции, с которых он начинает движение, обозначим знаком плюс (+), а «проигрышные» для начинающего – знаком минус (–).
Для удобства добавим внизу еще один ряд, в который будем вносить обозначения ячеек.
Из условий задачи следует, что выигрывает тот, кто поставит фишку на ноль. С нее и начнем расставлять плюсы и минусы.
Если второй игрок поставил фишку в нулевую ячейку, то игра окончена. Это значит, что нахождение фишки на нулевой позиции проигрышное для начинающего.
Для первого варианта игры (передвижение на 2, 5 ячеек) расположение «выигрышных» и «проигрышных» вариантов расположения фишки выглядит следующим образом:
Примечание: при нахождении фишки на первой позиции закончить игру при заданном количестве ходов будет практически невозможно.
Для второго варианта игры (передвижение на 1, 2, 4 ячейки) расположение «выигрышных» и «проигрышных» вариантов выглядит следующим образом:
Для третьего варианта игры (передвижение на 2, 4, 7 ячеек) расположение «выигрышных» и «проигрышных» вариантов выглядит так:
Примечание: как и в первом варианте игры, при нахождении фишки на первой позиции закончить игру при заданном количестве ходов будет практически невозможно.
Если составлять логические схемы вам уже надоело, то решите следующую задачу (задача №170 "Комната с коврами"), используя метод, описанный в решении задачи №166 «Круги Эйлера. Диаграмма Эйлера – Венна»:
Пол помещения площадью 12 м² покрыт тремя коврами. Площадь первого ковра 5 м², второго – 4 м², третьего – 3 м².
Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 м², причем 0,5 м² из этих полутора квадратных метров приходится на участок пола, где перекрываются сразу все три ковра.
Необходимо:
- найти площадь пола, не покрытую коврами;
- найти площадь участка, покрытого одним только первым ковром.