Задача №168
Напомню условия игры №2, которые были изложены в «Задаче №167. Математические игры»:
Возьмите лист в крупную клетку. Пронумеруйте на нем клетки на одной полосе последовательно от 0 до 15. На любую из пронумерованных клеток поставьте фишку, которую игроки будут поочередно передвигать влево (к нулю). Каждый игрок может передвигать фишку на одну, две, три или четыре клетки. Выигрывает тот, кто поставит фишку на ноль.
Вопрос: при каком начальном положении фишки выигрывает начинающий, а при каком второй игрок?
В игре №1 (Задача №167) мы искали выигрышную стратегию для участников игры.
Разберем начальные положения фишки, наиболее выгодные для игрока №1 (начинающий) и игрока №2 в игре №2.
Полоска в клетку, по которой необходимо передвигать фишку выглядит так:
«Выигрышные» для начинающего позиции, то есть позиции, с которых он начинает движение, обозначим знаком плюс (+), а «проигрышные» для начинающего – знаком минус (–).
Для удобства добавим внизу еще один ряд, в который будем вносить обозначения ячеек.
Из условий задачи следует, что выигрывает тот, кто поставит фишку на ноль. С нее и начнем расставлять плюсы и минусы.
Если второй игрок поставил фишку в нулевую ячейку, то игра окончена. Это значит, что нахождение фишки на нулевой позиции проигрышное для начинающего:
Клетки 1, 2, 3, 4 можно отметить плюсом, так как если фишка стоит на этих позициях, то начинающий может одним ходом выиграть, поставив фишку на ноль (см. условие задачи: передвигать фишку можно на одну, две, три или четыре клетки влево).
Рассмотрим клетку под номером 5. Если начинающему предстоит сделать ход с этой позиции, то он, несомненно, проиграет, так как после его хода фишка окажется в клетках 1, 2, 3 или 4. Второй игрок своим ходом передвинет фишку на ноль и выиграет. Значит клетка 5 для первого игрока проигрышная. Ставим минус.
Нахождение фишек на клетках 6, 7, 8 и 9 приведет начинающего к выигрышу, так как он может передвинуть фишку на позицию №5 и, как уже указано выше, поставить своего противника в проигрышное положение.
Клетка №10 для начинающего игрока окажется проигрышной, так как они приводят его на клетки 6, 7, 8 и 9, выигрышные для противника.
Продолжив этот ряд, мы получим следующее расположение «выигрышных» и «проигрышных» клеток для начинающего:
Вполне очевидно, что для начинающего выигрышным будет любой из вариантов начального нахождения фишки на позиции с номером, не кратным 5. А вот передвигать фишку он должен на позицию с номером, кратным пяти. В противном случае выигрыш достанется второму игроку.
Снова легко? Тогда расставьте плюсы и минусы в клетках при условии, что фишку можно передвигать только:
- на 2 или 5 клеток;
- на 1, 2 или 4 клетки;
- на 2, 4 или 7 клеток.
Прочие условия те же. Назовем это игра №3 или «задача №169».
Примечание:
Разбирая игру №2 и игру №3 мы лишь пытаемся изучить простейшие частные случаи построения логических цепочек.
При желании эти игры можно усложнить, добавив эффект неожиданности (случайности) - карточки с указанием количества клеток, на которые можно передвинуть фишку, вытягиваемые игроками из предварительно перемешанной стопы. Именно на схеме "правило+случайность" построена такая знаменитая игра, как нарды или шеш-беш, в которой два игрока обязаны соблюдать определенные правила при передвижении принадлежащих им фишек, но ограничены количеством ходов, согласно цифрам, случайно выпавшим на игральных костях.