Геометрия — это не просто раздел математики, это настоящее искусство. Её задачи могут быть настолько красивы и изящны, что вызывают восхищение даже у тех, кто никогда не интересовался математикой. В этой статье Вашему вниманию несколько таких задач из моего телеграм-канала. Они могут показаться сложными на первый взгляд, но они очень красивы. Приятного чтения!
Задача №1
Правильные треугольники АВС и ADE таковы, что точка D лежит на отрезке ВС. Высота треугольника АВС равна 13. Найдите расстояние от точки Е до прямой АВ.
Комментарий:
А с чего вдруг вообще это расстояние не зависит от положения точки D? А вот такая вот интересная жизнь у этих треугольников:
Решение:
Треугольник АВD равен треугольнику АСЕ по двум сторонам и углу между ними, поэтому угол АСЕ равен углу САВ, то есть накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и СЕ секущей равны. Значит прямые АВ и СЕ параллельны, то есть расстояние от точке Е до прямой АВ равно расстоянию от точки С до той же прямой - то есть высоте треугольника АВС, которая была равна 13.
Задача №2
ABCD – квадрат. Треугольники ABE и ADF – равносторонние (см. рисунок). Лежат ли точки C, E и F на одной прямой?
Решение:
Так как ABCD - квадрат, а треугольники АВЕ и ADF - правильные, то AB = BC = CD = AD = AE = BE = AF = DF. Посчитаем углы:
Треугольники ВСЕ и АЕF - равнобедренные, поэтому у них равны углы при основании. Отсюда найдём углы AEF и ВЕС. Сложив углы AEF, АЕВ и ВЕС, получаем развёрнутый угол, то есть точка Е лежит на отрезке CF. Значит, точки C, E и F действительно лежат на одной прямой.
Задача №3
На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены точки F и E соответственно так, что лучи AF и АЕ делят угол А на три равные части. FG - высота треугольника AEF. Найдите угол GDE.
Решение:
Прямоугольные треугольники ABF и AGF равны по гипотенузе и острому углу. Тогда треугольник ADG - равнобедренный, поэтому у него равны углы при основании (каждый по 75 градусов). Отсюда угол GDE равен 15 градусам.
Заключение
Все эти задачи я взял из материалов вступительных экзаменов в 8 класс Санкт-Петербургского лицея ФТШ. Их решают обыкновенные семиклассники, которые хотят поступить в эту школу городского набора. Очень важно отметить красоту, которую нашли при составлении этих задач коллеги из ФТШ, потому что создать настолько красивую задачу (и при этом - решающуюся весьма ограниченными методами 7 класса) - это отдельный вид искусства.
Ещё больше задач из олимпиад и вступительных экзаменов - чаще всего, не геометрических - ищите в моём Telegram-канале "Математика с Александром Сергеевичем".