Задача 130.
Тринадцать различных натуральных чисел дают в сумме 92. Найдите эти числа.
Решение:
Все натуральные числа от 1 до 13 включительно дают в сумме 91. Если в этом наборе чисел 13 заменить на 14, то получим требуемый набор. Всякий другой набор 13 различных натуральных чисел будет обладать суммой, большей 92.
Задача 131.
Из набора гирек с массами 1 г, 2 г, 3 г,..., 101 г удалили гирьку с массой 19 г. Можно ли остальные гирьки разложить по 50 штук на каждую из чашек весов так, чтобы весы были в равновесии?
Ответ: можно.
Решение:
Разобьем гирьки на пары: 18 пар гирек 1-го типа: 1 г + 37 г, 2 г + 36 г, ..., 18 г + 20 г (сумма масс в каждой такой паре равна 38) и 32 пары гирек 2-го типа: 38 г + 101 г, 39 г + 100 г, ..., 69 г + 70 г (сумма масс гирек в каждой такой паре будет 139 г). На каждую чашку весов положим по 9 пар гирек 1-го типа и по 16 пар гирек 2-го типа — весы будут в равновесии.
Задача 132.
Какое наибольшее число полей можно отметить на шахматной доске так, чтобы с любого из них на любое другое отмеченное поле можно было пройти ровно двумя ходами коня?
Ответ: 8.
Решение:
На отмеченные поля поставим коней. Самый левый конь отстоит от самого правого на два хода, как и самый верхний от самого нижнего. Отсюда следует, что все кони находятся в квадрате 5x5 клеток и их не больше восьми
Задача 133.
На острове живут лжецы и правдецы. Лжецы говорят только ложь, а правдецы — только правду. Некоторые жители заявили, что на острове нечетное число лжецов, а остальные заявили, что на острове четное число правдецов. Может ли число жителей острова быть нечетным?
Ответ: не может.
Решение:
Оба заявления не могут быть правдой, так как среди заявлявших были лжецы. Но оба заявления не могут быть и ложью, так как среди заявлявших были правдецы. Значит, одно заявление является ложным, а другое правдивым. Это означает, что либо на острове четное число лжецов и четное число правдецов, либо нечетное число лжецов и нечетное число правдецов. В обоих случаях число жителей острова четно.
Задача 134.
Три трехзначных числа, в записи которых участвуют все цифры, кроме нуля, дают в сумме 1665. В каждом числе первую цифру поменяли местами с последней и получили три новых трехзначных числа. Чему равна сумма новых чисел?
Ответ: искомая сумма равна 1665.
Решение:
Сумма последних цифр трех исходных чисел равна 5, 15 или 25. Но 5 и 25 исключаются, так как они не представимы в виде суммы трех различных цифр (от 1 до 9), значит, остается 15. Следовательно, и сумма средних цифр, и сумма первых цифр также равны 15. Теперь ясно, что, сделав перестановку цифр, мы снова получим три числа, сумма которых равна 1665.
Напоследок предъявим тройку чисел (одну из возможных), удовлетворяющую условиям задачи: 159, 672, 834.
Задача 135.
Сто гирек поставлены в ряд. Известно, что массы любых двух соседних гирек отличаются на 1 г. Докажите, что гирьки можно разложить на две чашки весов по 50 штук на каждую гак, что весы будут в равновесии.
Решение:
Разобьем гирьки на 50 пар так, что в каждой паре будут соседние гирьки. Возьмем 25 пар (любых), для каждой из них гирьку меньшей массы положим на левую чашку весов, а гирьку большей массы — на правую. Для остальных 25 пар поступим наоборот: гирьки меньшей массы из каждой пары положим на правую чашку весов, а большей — на левую. После этого весы будут в равновесии.
Задача 136.
Каждая грань кубика разделена на четыре квадрата. В каждый из этих квадратов вписано число. При этом число, вписанное в любой из 24 квадратов, в сумме с числами, вписанными в четыре соседних с ним квадрата, всегда дает 13. Могут ли все 24 числа быть целыми?
Ответ: не могут.
Решение:
Найдем сумму всех 24 чисел. Просуммировав каждое число, расположенное в квадрате, с числами в соседних с ним квадратах по всем квадратам, мы получим число 24×13=312. При этом каждое число, записанное на кубике, суммируется по 5 раз. Значит, сумма всех чисел, записанных на кубике, равна 312:5, а потому все слагаемые не могут быть целыми числами.
Задача 137.
101 гирька расположена по окружности. Масса каждой из гирек — натуральное число, а их общая масса равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну или несколько гирек, расположенных подряд, с общей массой 200 г.
Решение:
Отметим на окружности 300 точек, разбивающих ее на 300 равных частей, и каждой гирьке массой т поставим в соответствие дугу из т таких частей. Концы этих дуг (расположенных по окружности в том же порядке, что и гирьки) назовем красными точками, остальные 300 — 101 = 199 точек — черными. Рассмотрим все равносторонние треугольники, вписанные в окружность, у которых одна из вершин красная. Если бы у каждого из них две другие вершины оказались черными, то всего черных точек было бы не менее 2 × 101 = 202. Поэтому найдется равносторонний треугольник, у которого две вершины красные. Большая дуга с концами в этих красных вершинах соответствует гирькам, в сумме имеющим массу 200 г, меньшая — гирькам, имеющим массу 100 г.
Задача 138.
На каждую клетку шахматной доски положили по нескольку монет так, что суммы на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличаются на копейку. Известно также, что на одной из клеток лежит 3 копейки, а на другой —17 копеек. Какую сумму составляют монеты, лежащие на обеих диагоналях?
Решение:
Заметим, что условия задачи выполнимы лишь в том случае, если указанные суммы в 3 и 17 копеек лежат в противоположных углах шахматной доски. Тогда заполнение доски производится однозначно, и искомая сумма равна 160 копейкам.
Задача 139.
Набор состоит из гирек с целочисленными массами. Известно, что если из набора убрать любую из гирек, то оставшиеся гирьки можно разложить по двум чашкам весов так, что весы будут в равновесии. Докажите, что в наборе нечетное число гирек.
Решение:
Рассмотрим К натуральных чисел, выражающих массы К гирек нашего набора. Если любое из этих чисел убрать, то в силу условия задачи сумма остальных будет четным числом. Значит, все К чисел имеют одинаковую четность. Если все они нечетны, то число К нечетно, так как сумма чисел без любого одного из них четна. Во втором случае, когда все К чисел четны, сократим их на наибольшую возможную степень двойки и, повторив предыдущие рассуждения для полученного нового набора чисел, убедимся, что опять К — нечетное число.
Задача 140.
На клетчатой бумаге нарисован шестиугольник.
Разрежьте его на три части, из которых можно сложить квадрат.
Решение:
На рисунке показано нужное разрезание и способ сложения квадрата ABCD.