Алексей Александрович родился 12 февраля 1918 года в семье крестьян в селе Алешенка Брасовского района Брянской области. С 1937 по 1941 годы учился на лечебном факультете Сталинградского медицинского института. Во время Великой Отечественной войны прошел боевой путь хирургом полевых подвижных госпиталей от Сталинграда до Австрии, сделал 20 тысяч операций раненым воинам. Служил в 57-й, 6-й, 48-й Армии Южного, Юго-Западного, 2-го и 3-го Украинских фронтов. Участник наступательных операций Кантемировской (Сибирской) дивизии в январе 1943 года.
В мирное время Чашников окончил Ленинградскую военно-медицинскую академию им. С. М. Кирова, работал в госпитале на Дальнем Востоке. С 1949 по 1951 годы был начальником хирургического отделения госпиталя ВВС СССР в Москве.
С 1964 года Алексей Александрович Чашников работал в Кемеровском государственном педагогическом институте начальником кафедры гражданской обороны, деканом химико-биологического факультета, доцентом.
В ходе войны получил награды: два ордена Красной Звезды, орден Отечественной войны II степени, медали – «За боевые заслуги», «За оборону Сталинграда», «За освобождение Белграда», «За взятие Вены», «За взятие Будапешта», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».
Из воспоминаний Алексея Александровича Чашникова:
«В неимоверных условиях, в бездорожье, при отсутствии нужных помещений, без сна многие дни и ночи делали все возможное во имя спасения бойцов. Не хватало медикаментов. Бомбы падали в операционные дома. Раненых приходилось вытаскивать через окна на улицы, где «мессершмидты» поливали свинцом каждый квадратный метр. И только благодаря беззаветному самопожертвованию медицинских работников раненых удавалось спасать.
Вражеская авиация буквально висела над нашими головами. Бомбила и обстреливала операционную, гонялась за прохожими. Однажды бомба попала прямо в операционный блок. Почти весь медицинский персонал был ранен, контужен, завален под обломками зданий. Много в те дни пришлось поработать с ранеными, делать сложнейшие операции».