Детьми мы первым делом изучали множество натуральных чисел и многие могли быть впечатлены каждый раз, когда понимали, как много чисел в этом множестве. Множество натуральных чисел позволяет сосчитать что-либо, оно является базовым множеством для определения счетности множеств. Считать, как в случае счетных множеств, так и в случае объектов любой природы, означает ставить в соответствие каждому объекту натуральное число так, чтобы все объекты в результате были ассоциированы с некоторым натуральным числом.
На следующем этапе изучения математики мы столкнулись с тем, что операция вычитания разрешена только в случае, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. Это ограничение и необходимость сравнения вычитаемого и уменьшаемого пропали как только мы взяли в обиход множество целых чисел, которое состоит из натуральных, нуля и противоположных натуральным, отрицательных. Множество целых чисел является счетным, его очень легко сосчитать, например, в порядке 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3 и т.д. Раз множество целых чисел можно сосчитать, то его мощность равна мощности множества натуральных чисел.
Операция деления с целыми числами тоже довольно ограничена, в большинстве случаев деление нацело невозможно. Но как быть, если в реальной жизни часто нужно делить, когда нацело не делится. Так появляется необходимость в использовании множества рациональных чисел, для которых операция деления определена всегда, кроме случая нулевого делителя. Рациональные числа несколько сложнее посчитать, но тоже правило ассоциирования всех рациональных чисел с натуральными есть, так что это множество не отличается от множества натуральных чисел по мощности.
Как вычислить длину окружности по известным радиусу или диаметру? Между диаметром и длиной окружности есть постоянный коэффициент (число пи), который не относится ни к одному из перечисленных выше множеств. Производная только одной степенной функции (показательной) равна этой же функции без изменений, основание этой степенной функции тоже не является рациональным числом. Операция извлечения корня в случае рациональных чисел определена только для тех элементов множества, которые получаются в результате возведения в целую степень рационального числа. В общем, рациональные числа точно не охватывают все числа, с которыми мы можем столкнуться в реальности, поэтому стоило ввести иррациональные числа, которые уже не пересчитываются так, как все предыдущие множества. Здесь стоит отметить, что до сих пор нововведенное множество включало предыдущее, то есть целые числа включали в себя и натуральные, а к рациональным относятся также целые, включающие в себя натуральные. Иррациональные числа не пересекаются с рациональными, но вместе с ними составляют множество действительных чисел.
Действительными числами называют числа, которыми можно охарактеризовать любую физическую величину. И, казалось бы, достаточно чисел, раз все реальное можно ими описать. У действительных чисел есть недостаток, связанный с тем, что нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа, однако в этом есть физический смысл, так что и хорошо, что нельзя извлекать? Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли в 1572 году. Тогда комплексные числа были придуманы "для красоты", чтобы можно было извлекать корни четной степени из любых действительных чисел. Комплексные числа являются составными, содержащими действительную и мнимую части. Если мнимая часть равна нулю, комплексное число является действительным, а если действительная часть равна нулю, то оно вырождается в чисто мнимое. Со временем стало ясно, что, довольно сложные для начального восприятия комплексные числа, делают многие вычисления гораздо проще. Например, на плоскости комплексных чисел снимаются ограничения на корни степенных уравнений, решения есть всегда, просто они могут быть комплексными. Важно применение комплексных чисел в радиофизике при рассмотрении сигналов, проходящих через различные электрические цепи. Любой сигнал можно представить в виде суммы гармонических функций и анализировать прохождение сигнала независимо по каждой гармонике. На выходе все элементарные сигналы складываются (могут получиться отличные от входных частота, фаза и амплитуда) и получается результат для сигнала любой сложности. Однако есть проблема, анализировать прохождение даже элементарного сигнала в действительных числах предполагает операции с гармоническими функциями, которыми являются синус и косинус. Все мы со школы знаем, как много формул и как легко просто выражение может усложниться при раскрытии в тригонометрии. Если же гармонические функции на множестве действительных чисел по формуле Эйлера преобразовать в функции комплексного переменного, задача сведется к операциям с очень простыми экспонентами. Это только наиболее близкий мне пример использования комплексных чисел на практике. Например, на комплексной плоскости можно с помощью вычетов находить интегралы, которые имеют бесконечные пределы на множестве действительных чисел. Думаю, читатели могут заметить еще немало областей, где комплексные числа значительно упрощают жизнь.
p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.