Олег написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Маша вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения 61,78 и 95. Посмотрев на полученные Машей значения, Рома смог точно назвать наибольшее из написанных Олегом чисел. Какое это число?
Всем здравствуйте! Публикую решения сложных заданий ВПР за 8 класс.
Будем рассуждать, исходя из условий задачи.
Предположим, что Олег написал пять различных натуральных чисел. Обозначим их a, b, c, d, e и составим попарные суммы:
a+b b+c c+d d+e
a+c b+d c+e
a+d b+e
a+e
Таких сумм получилось 10. Различных среди них - не менее четырех (они в первом столбике).
А по условию Маша составила всего три различных значения - 61,78 и 95.
Делаем вывод: среди пяти натуральных, которые записал Олег, не все различные числа.
Предположим, что среди пяти натуральных есть два одинаковых, например: a,a,b,c,d.
Составим попарные суммы:
a+a b+c с+d
a+b b+d
a+c
a+d
Всего таких сумм семь, различных опять не менее четырех (и они снова в первом столбике). Не исключаем возможности равных сумм, например, а+а=b+с, поэтому и говорим, что различных - не менее четырех.
А нам нужно ТРИ!
Возникает вопрос: есть ещё одинаковые пары натуральных чисел или нет? Проверим.
Возьмём пять натуральных чисел и среди них две пары одинаковых:
а, а, b, b, с.
Составим попарные суммы:
а+а b+b
a+b b+c
a+c
Их пять. И среди них два значения с одинаковыми слагаемыми - а+а и b+b. Результаты этих сумм четные числа. А у нас среди сумм, записанных Машей 61, 78, 95 только одно четное - 78. Значит две пары одинаковых натуральных чисел быть не могут!
В качестве эксперимента возьмём три одинаковых числа а. Наши загадочных пять натуральных чисел выглядят теперь таким образом 👇.
Составим попарные суммы:
а+а b+c
a+b
a+c
Их четыре. Не исключаем, что а+а=b+c. Тогда сумм будет три, что нам и нужно.
Сумма а+а может равняться только чётному числу. А оно у нас одно -78. Отсюда а+а=78 и а=39.
Имеем пять натуральных чисел с двумя неизвестными: 39, 39, 39, b, c.
Найдем b и с.
39+b=61, отсюда b=22.
39+c=95, отсюда с=56.
Наш ряд натуральных чисел, записанный Олегом, открылся: 39, 39, 39, 22, 56.
Составим попарные суммы:
39+39=78
39+22=61
39+56=95
22+56=78
Как видим, попарных сумм четыре, а вот различных значений этих сумм - три, так же, как и у Маши 😊!
Значит, Рома смог точно назвать наибольшее из написанных Олегом чисел и это число 56.
Ответ: это число 56.
Задача решена.
Она взята из тренировочных вариантов ВПР. Оцените сложность работы.
По сравнению с ВПР за 7 класс эта работа показалась мне гораздо сложнее. И вообще, проработав много лет в школе математиком, программу 8 класса по алгебре и геометрии считаю самой сложной.
Покажу в следующих публикациях решение сложных заданий 15,17,18.
Дорогие друзья! Спасибо за подписки и за прочтение. Жду ваших комментариев и рада общению с вами.
С вами автор Любовь.