Линейные уравнения являются наиболее простыми и наиболее широко распространенными. Некоторые процессы исходно характеризуются линейными взаимосвязями величин, другие сводятся к кусочно-линейным с целью упрощения решения задачи. Если попытаться описать области применения линейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), придется писать только об этом, поэтому мы перейдем сразу к делу.
В школе мы привыкли к записи y=kx+b, которая предполагает зависимость переменной y от x, при этом параметр k определяет степень влияния изменения в x на переменную y, а параметр b задает постоянное (отрицательное или положительное) смещение между переменными. В этом уравнении две переменные и его решением является бесконечное множество значений на соответствующей наклонной прямой. Если однако одно из значений переменных известно, второе находится очень просто, либо по формуле y=kx+b, либо по формуле x=(y-b)/k, смотря что известно (должно быть справа), а что — нет (должно быть слева).
Если же уравнений два, например, y=kx+b и y=lx+m, то их совместное решение уже может дать единственное решение, но не всегда. Если уравнения дублируют друг друга, решений будет бесконечное количество, если коэффициенты k и l одинаковы, а, b и m различны, решений нет, в остальных случаях решение есть и оно является единственным. Прелесть линейных уравнений и систем в том, что для них хорошо известны условия существования и единственности решения.
В примерах выше переменная y была выражена через x и в таком случае переменную x называют независимой, а y считают зависимой от независимой x. В высшей школе линейные уравнения обычно записывают по-другому, так чтобы все переменные с некоторыми умножающими коэффициентами располагались в левой части уравнения и равнялись некоторой константе, записанной справа. Например, такое уравнение может выглядеть так: ax + by = c. Оно легко сводится к уравнению со школьной программы, но гораздо удобнее использовать в системах линейных уравнений именно эту форму записи. В системе линейных уравнений (для единственности решения) должно быть столько же уравнений, сколько переменных. Кроме того, все уравнения должны быть попарно независимы. Другими словами, коэффициенты в одном из уравнений не могут быть в прямой пропорциональности с коэффициентами в любом другом уравнении системы. На картинке привожу вид системы из четырех уравнений с четырьмя переменными.
Существует два класса методов решения систем линейных алгебраических уравнений, прямые и итерационные. Прямые методы позволяют по заранее определенному алгоритму за заранее известное количество действий найти точное решение. Итерационные методы позволяют найти решение с заданной точностью за заранее неизвестное количество итераций, при этом отдельная итерация гораздо проще прямых методов.
К прямым методам решения систем линейных алгебраических уравнений относятся метод подстановки, метод сложения (вычитания), метод Крамера, метод Гаусса и другие. Метод подстановки и метод сложения изучаются в школьной программе и применимы для не очень больших систем, поскольку требуют большого внимания и уникального подхода при решении каждой системы. Метод Крамера хорош тем, что сразу же происходит проверка на единственность решения. Однако вычисление детерминантов по числу переменных в системе тем сложнее, чем больше система. Метод сложен в смысле количества вычислений и уязвим из-за большого количества произведений, которые заметно увеличивают ошибки, возникающие при вычислении. Метод Гаусса проще метода Крамера, является двухпроходным и не требует выполнения сложных операций с матрицами.
Среди итерационных методов известны метод простой итерации, метод Якоби, метод Зейделя и другие. Каждый метод имеет свое условие сходимости, которое можно проверить и знать, будет ли решение приближаться к истинному.
Это краткая обобщающая статья без подробного разбора методов, в целом все методы известны и легко находятся в интернете с подробным описанием алгоритмов и примерами. Если, правда, нужно разобрать какой-то конкретный метод или пример, пишите в комментариях.
p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.
