Пример рассуждения с обоснованием исходных посылок вывода
N был на прогулке по озеру, неделю назад, и, вероятно, он выбросил в воду пистолет...
Предположим, что пистолета в озере нет, тогда у N пистолета не было, и он просто собирался поплавать на лодке. Но если N собирался поплавать, то он не мог, безо всякой причины, так скоро вернуться в отель. А на лодке он действительно выходил. Значит, что-то заставило N поспешно вернуться на берег и отправиться в отель, где он и провел остаток дня. Но Если N весь день провел в отеле, то у него не было срочных дел, значит во время прогулки по озеру он попал под дождь, который и вынудил его поспешно вернуться в отель. Следовательно был дождь или в озере пистолет (p v s).
Предположим, что дождь действительно был. Тогда дождь должен был быть достаточно ощутимым, чтобы заставить N так поспешно вернуться на берег и отправиться прямиком в отель. Но если это так, то погода должна была предвещать дождь, и, отправляясь на прогулку по озеру, N должен был захватить зонт и плащ. Но ни зонта, ни плаща при нем не было. Следовательно, N отправился на озеро не для прогулки, и выходил на лодке с другой целью, осуществив которую он тут же вернулся в отель. Значит он выбросил в воду пистолет. Таким образом, если был дождь, то в озере пистолет (p -> s).
А поскольку, был дождь или в озере пистолет, то в озере пистолет (s).
Пример построен по схеме рассуждения на основе метода логической цепи. Схемы даны в конце статьи.
Стандартная практика рассуждений
Любое доказательство представляет собой логическую задачу, в которой из исходных положений (посылок) выводится истинность или ложность ряда утверждений. На практике чаще всего требуется доказать или опровергнуть некие элементарные утверждения, описывающие простые факты. Такие утверждения в логике высказываний могут выражаться пропозициональными переменными, обозначающимися маленькими буквами английского алфавита (обычно, p, q, r, s, и др.). Исходные посылки же, на практике чаще всего определяются составными утверждениями вида:
p -> s - "если истинно p, то истинно s".
p v s - "хотя бы одно из утверждений p или s, - истинно". Обычно читается - p или s.
¬p v ¬s - "хотя бы одно из утверждений p или s, - ложно". Обычно читается - не-p или не-s.
p v! s - "либо истинно утверждение p, либо истинно утверждение s". Символом "v!" обозначена строгая дизъюнкция (в логике принято v подчёркнутое снизу). Обычно читается - либо p, либо s.
Исходными посылками также могут быть и пропозициональные переменные (p, q, r, s...) "p - истинно, q - истинно... ". А также их отрицания (¬p, ¬q, ¬r, ¬s...) "p - ложно, q - ложно... ".
Также встречаются и более сложные исходные посылки, с большим количеством пропозициональных переменных:
(p -> s)(s -> q)(q -> r)... "если p, то s; если s, то q; если q, то r...".
Данное выражение, будем называть логической цепью, и записывать сокращенно: p -> s -> q -> r
p v s v q v r... - "хотя бы одно из утверждений p, s, q, r... - истинно".
¬p v ¬s v ¬q v ¬r ... - "хотя бы одно из утверждений p, s, q, r,... - ложно".
p v! s v! q v! r ... - "одно из утверждений p, s, q, r,... - истинно, а остальные ложны".
Для доказательства или опровержения утверждений, на практике мы обычно используем элементарное умозаключение, которое в логике высказываний называется правилом Modus pones:
p(p -> s) -> s "если истинно p, то истинно s. p - истинно, следовательно, s - истинно"
Также используются и некоторые другие простые умозаключения:
¬s(p -> s) -> ¬p "если истинно p, то истинно s. s - ложно, следовательно, p - ложно"
¬p(p v s) -> s "истинно p или s. p - ложно, следовательно, s - истинно"
С помощью таких умозаключений, мы обычно и двигаемся по цепочке, от факта к факту. Однако этот способ обладает тем недостатком, что не позволяет связать все исходные посылки в одну ясную картину (или схему). Это вынуждает нас, не видя всей картины, двигаться "на ощупь", путем перебора предположений. Кроме того, этот способ не подсказывает никакой стратегии в поиске исходных посылок для рассуждения, и мы вынуждены полагаться лишь на интуицию или непосредственное наблюдение.
Некоторые более сложные приемы рассуждения и метод логической цепи.
Однако имеются следующие чуть более сложные умозаключения, которые обладают интересными свойствами:
(p v s)(p -> s) -> s
(¬p v ¬s)(p -> s) -> ¬p
(p v! s)(p -> s) -> ¬ps
(p v s)((p v s) -> r) -> r
(¬p v ¬s)(r -> (p v s)) -> ¬r
(¬p -> s)(p -> s) -> s
(p -> ¬s)(p -> s) -> ¬p
Надо заметить, что для составных утверждения принято указывать символ конъюнкции "&" (союз "и"). Например, утверждение (¬p v ¬s)(p v s)(p -> s) -> ¬ps правильно писать так: (¬p v ¬s)&(p v s)&(p -> s) -> ¬p&s. Для удобства будем пропускать этот символ, и писать только в отдельных случаях.
Все эти умозаключения, в общем, являются модификациями утверждения (p v s)(p -> s) -> s и сводятся к сочетанию дизъюнкции и импликаций (утверждение вида p v s называется дизъюнкцией, а вида утверждение p -> s - импликацией).
Они могут быть расширены на случаи замкнутых, незамкнутых и разветвленных логических цепей (последовательных импликаций вида p -> s -> q -> r ->...), до таких умозаключений:
(Pi v Pi+k) & (P1 -> P2 -> P3 -> ... -> Pn) -> Pi+k & Pi+k+1 & ... & Pn, где i - порядковый номер утверждения в логической цепи, i+k - порядковый номер некоторого утверждения, следующего за утверждением Pi, в логической цепи.
(¬Pi v ¬Pi+k) & (P1 -> P2 -> P3 -> ... -> Pn) -> ¬P1 & ¬P2 & ... & ¬Pi
(Pi v! Pi+k) & (P1 -> P2 -> P3 -> ... -> Pn) -> ¬P1 & ¬P2 & ... & ¬Pi & Pi+k & Pi+k+1 & ... & Pn
Особенность состоит в том, что любое утверждение, в логике высказываний, может быть представлено (с помощью формальных преобразований) в виде сочетания дизьюнкций и импликаций. Таким образом, любой набор исходных посылок и их заключений, может быть сведен к указанным умозаключениям. Это свойство позволяет представить все исходные посылки в одной схеме в виде разветвленной логической цепи из пропозициональных переменных, входящих в исходные посылки, и быстро определить истинностные значения всех пропозициональных переменных с помощью дизъюнктивных посылок, по указанным выше правилам. Кроме того, видение общей схемы позволяет наглядно оценить какие исходные посылки лишние, или где не хват данных.
Однако, несмотря на то, что схема логической цепи может указывать на недостающие данные, этот метод по-прежнему не подсказывает никакой стратегии в поиске исходных посылок рассуждения.
Пример использования метода логической цепи см. видео:
Поиск исходных посылок и схемы рассуждений в доказательстве
Как уже было замечено, в качестве исходных посылок, на практике обычно берутся утверждения: p -> s, p v! s, p v s, их модификации с большим количеством переменных, а также пропозициональные переменные и их отрицания p, q, ¬r, ¬s ... Это связано с тем, что такие утверждения могут описывать простые, наблюдаемые в опыте явления и ситуации. Другими словами, мы можем придумать ситуации, соответствующие таким утверждениям. Например: "На улице дождь", "В этой комнате никого нет", "Если бросить камень, то он упадет", "Земля либо круглая, либо не круглая", "Либо светит солнце, либо горят фонари", "Если Иван взял инструменты, то он был в гараже", "Либо Иван заходил к Петру, либо он заходил к Дмитрию", "Дмитрий говорил с Петром или Владимиром".
Истинность или ложность первых из приведенных посылок, совершенно очевидна. Посылка "Либо светит солнце, либо горят фонари" также довольно ясна, но уже требует некоторого пояснения. Последние три посылки не могут быть совершенно очевидны и требуют обоснований. Кроме того, можно заметить, что некоторые посылки совершенно не применимы для умозаключений метода логической цепи. В самом деле, рассмотрим посылку "Земля либо круглая, либо не круглая". Представим ее в виде утверждения (p v! s), где p - Земля круглая, s - Земля не круглая. Ясно, что посылка p -> s - "если Земля круглая, то она не круглая" - невозможна, т. к. ведет к противоречию. Следовательно, умозаключение (p v! s)(p -> s) -> ¬ps - невозможно. Рассмотрим посылку "Если бросить камень, то он упадет". Представим ее в виде утверждения p -> s, где p - камень брошен, s - камень упадет. Ясно, что посылка p v! s - "либо камень будет брошен, либо он упадет" - невозможна, т. к. ведет к противоречию. Следовательно, умозаключение (p v! s)(p -> s) -> ¬ps - невозможно.
Строго говоря, посылка "Земля либо круглая, либо не круглая" выражает закон исключенного третьего p v! ¬p (или p v ¬p), поэтому естественно, что p -> ¬p - невозможно. Посылка же "Если бросить камень, то он упадет" является эквиваленцией, т. е. выражается утверждением (p -> s)(s -> p), которое тождественно ¬p v! s, поэтому, очевидно, что (¬p v! s)(p v! s) - невозможно. Хотя нестрого дизъюнктивная посылка p v s - "камень будет брошен или камень упадет" возможна, например, как некое философское суждение. Если же это суждение истинно, то истинно, что камень упадёт.
Таким образом, посылки, которые выражают эквивалентность или закон исключенного третьего, в качестве исходных недостаточны. Однако именно такие посылки приходят на ум проще всего. Те же посылки, которые не выражают эквивалентность или закон исключенного третьего, не так просто отыскать, поскольку их нужно еще и обосновать. В самом деле, попробуйте обосновать, например, такую посылку: "в холодильнике сыр или колбаса". Если же посылка болжна быть использована для доказательства какого-то тезиса, т. е. иметь отношение к делу, то придумать такую посылку будет ещё труднее, даже если мы будем перебирать в уме все факты, относящиеся к делу. Поэтому необходима стратегия, которая упростит задачу поиска исходных посылок.
Рассмотрим следующие истинные утверждения:
ps -> (u -> p)(¬u -> s) -> (p v s) (а)
ps -> ¬((p -> v)(s -> ¬v)) -> (p v s) (б)
Доказывать их истинность здесь не буду, это можно проверить методом таблиц истинности.
Эти утверждения дают нам способ обоснования дизъюнктивных, а также импликативных посылок, поскольку импликация формально связана с дизъюнкцией: p -> s = ¬p v s. Но наше мышление развито так, что импликативные посылки легче придумать и обосновать. Поэтому их мы будем брать в качестве базовых для всех рассуждений.
Допустим, у нас есть дизъюнкция p v s. Согласно формулам (а) и (б) возможны утверждения u и v, которые обосновывают связь между p и s, и т. о. саму посылку p v s. Поскольку формула (а) - истинна, то истинна формула: (¬s -> u -> p) -> p v s, и наоборот (¬p -> ¬u -> s) -> p v s. Таким образом, если из предположения, что какая-либо из переменных p или s, - ложна, вытекает, что другая истинна, то дизъюнктивная посылка p v s -истинна. Причем чем длиннее вывод, тем менее очевидна истинность посылки p v s, т. е. утверждение u может представлять собой цепь утверждений u = (u1 -> u2 -> ... -> un). Таким же образом и с помощью формулы (б). Эти формулы можно представить в виде:
(¬p -> u -> s) -> (p v s) (а)
(p -> v -> ¬s) -> (¬p v ¬s) (б)
(¬p -> u -> s)(p -> v -> ¬s) -> (p v! s)
Последняя формулы получается путем сочетания формул (а) и (б), и представляет мало интереса.
В качестве примера, попробуем придумать обоснование для утверждения "в холодильнике сыр, или колбаса". Предположим, что в холодильнике нет сыра, тогда Иван не покупал вчера сыр в магазине. Если он не покупал сыр, то в магазине не было хорошего сыра. Но если в магазине не было хорошего сыра, то он купил колбасу, потому что он всегда покупает сыр или колбасу. Значит, в холодильнике есть колбаса. Следовательно, в холодильнике сыр или колбаса.
Однако, как уже было сказано, целью рассуждения обычно является доказательство или опровержение пропозициональных переменных p, q, r, s ..., описывающих конкретные простые факты. Поэтому истинности дизъюнктивной посылки еще не достаточно, и необходимо связать эти переменные в логической цепи, т. е. доказать импликативную посылку. Для этого можно воспользоваться, например, снова формулой (а), изменив ее под импликацию.
(¬p v s) = (p -> s), тогда (u -> ¬p)(¬u -> s) -> (¬p v s) = (u -> ¬p)(¬u -> s) -> (p -> s) = (¬s -> u -> ¬p) -> (p -> s). Значит, если из предположения ложности s, вытекает ложность p, то p -> s - истинно.
Также, очевидно, что если из истинности p, вытекает истинность s, то p -> s - истинно.
Предположим у нас есть некий факт, и необходимо доказать некую причину этого факта, т. е. утверждение p - "причина этого факта в том-то". Первое, что мы должны сделать, это построить логическую цепь, путем отрицания этого факта. Например, ¬p -> u1 -> u2 -> ... -> un, (цепь может быть и разветвленной). Затем нужно рассмотреть два утверждения этой цепи ui, uj, (среди них может быть и само утверждение ¬p) и попытаться доказать посылку ¬ui v ¬uj, выводя одну из них из отрицания другой ui -> v1 -> v2 -> ... -> vn -> ¬uj. Если же мы стремимся опровергнуть p, то можно построить цепь p -> u1 -> u2 -> ... -> un, и затем доказать посылку ¬ui v ¬uj.
Обоснование тезиса ¬ui v ¬uj, можно произвести также путем его отрицания, по такой же схеме, как и для утверждения p.
¬(¬ui v ¬uj) = ui & uj = w
w -> t1 -> t2 ->... -> tn.
(ti -> f1 -> f2 ->... -> fn -> tj) -> (¬ti v ¬tj) -> ¬w -> ¬(ui & uj) -> ¬ui v ¬uj.
Схемы рассуждений
Таким образом, можно выделить две стратегии аргументации: стратегия доказательства и стратегия опровержения. Запишем схемы для этих стратегий.
а). Схема доказательства утверждения p.
1. Строим логическую цепь из предположения ложности p:
¬p -> u1 -> u2 ->... -> un
2. Выбираем два утверждения ui, uj в этой цепи (не должно выполняться ui <-> uj), доказываем посылку ¬ui v ¬uj, и тем самым истинность утверждения p:
(ui -> v1 -> v2 ->... -> vn -> ¬uj) -> (¬ui v ¬uj) -> p
или
¬(¬ui v ¬uj) = ui & uj
(ui & uj) -> t1 -> t2 ->... -> tn
(ti -> f1 -> f2 ->... -> fn -> ¬tj) -> (¬ti v ¬tj) -> ¬(ui & uj) -> (¬ui v ¬uj) -> p
(не должно выполняться ti <-> tj)
б). Схема опровержения утверждения p.
1. Строим логическую цепь из предположения истинности p:
p -> u1 -> u2 ->... -> un
2. Выбираем два утверждения ui, uj в этой цепи (не должно выполняться ui <-> uj), доказываем посылку ¬ui v ¬uj, и тем самым ложность утверждения p:
(ui -> v1 -> v2 ->... -> vn -> ¬uj) -> (¬ui v ¬uj) -> ¬p
или
¬(¬ui v ¬uj) = ui & uj
(ui & uj) -> t1 -> t2 ->... -> tn
(ti -> f1 -> f2 ->... -> fn -> ¬tj) -> (¬ti v ¬tj) -> ¬(ui & uj) -> (¬ui v ¬uj) -> p
(не должно выполняться ti <-> tj)
Для поддержки канала, ставьте лайки, делайте комментарии, и не забудьте подписаться.