Знаете, какая самая распространённая проблема возникает при подготовке к экзаменам у школьников, которые достаточно неленивы и мотивированы, чтоб готовиться всерьёз; готовы много работать и кое-что знают и помнят из формул и теорем, пройденных за годы обучения в школе? Они тупо не умеют считать. Вот вообще. Вплоть до того, что на 20 (а то и на 10) умножают в столбик. Нет ни навыка устного счёта, ни накопленного опыта, который позволяет переводить 3/4 в 0,75, а 0,375 в 3/8 без честного преобразования. Мне доводилось видеть даже и таких одиннадцатиклассников, которые в столбик 1 делят на 2, не видя, что 1/2 - это половина, то есть 0,5.
Многие другие проблемы с базовыми навыками отслеживаются как раз до этого уровня. Например, с нахождением части (или процента) от числа или числа по его части (или проценту). Многие абстрактные алгебраические преобразования в мозгу опираются на арифметический опыт, которого у большинства учеников сегодня попросту нет. Понимание многих алгоритмов (того же самого поиска по части, например) приходит после большого количества попыток. Если же опыта, на который можно опереться, нет, то и понимания не будет. На сцену выходят обезьянки с гранатами заученными алгоритмами. Учителя (и репетиторы) таких обезьянок плодят. Какие у них варианты? Им нужен результат за ограниченное время, а несколько лет, отведённых ученику для того, чтобы приобрести опыт, давно прошли.
Можно до бесконечности спорить, что было раньше: курица или яйцо - то есть кто виноват в отсутствии этого опыта: учитель, родитель или ученик. Факта это не изменит: вся абстрактная математика с 7 по 11 класс провалилась куда-то в подземелье, если крепкого арифметического фундамента с 1 по 6 не заложили. Граница между 6 и 7 классами, на самом деле, весьма условная - абстракции попросту уже в 5 классе появляются, опираясь на опыт из начальной школы. А опыта-то, зачастую, и нет - поэтому средний пятиклассник в шоке от буквы х и алгебраических преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных и так далее). К 7 классу этот шок только усиливается, так как арифметический опыт так и не появляется, так что абстрактной алгебре опираться просто не на что.
Масштабы этой проблемы хорошо показала "задача про сырки" в базовом ЕГЭ по математике, в которой нужно просто разделить одно число на другое - эту задачу правильно решают, скажем так, далеко не все выпускники. Хотя навык, который она проверяет, то есть вычисления, относится к 1-6 классам и дальше постоянно используется - его отсутствие достаточно красноречиво показывает, что изучение всей дальнейшей математики попросту прошло мимо выпускника.
Что делать?
Меня тут часто упрекают в том, что я просто описываю проблемы, не предлагая никакого метода их решения. На самом деле, это не совсем так, просто иногда я и сам понимаю, что единственный метод - кардинальные изменения в системе, которые всё равно не произойдут, поэтому могу об этом не написать. В случае с арифметикой как раз всё понятно:
- в начальной и средней школе регулярно (каждый урок или каждый второй как минимум) проводить пятиминутки устного счёта и мини-диктанты на счёт без техники (в уме или в столбик - на выбор ученика);
- в старшей школе те же самые арифметические пятиминутки (при наличии на них времени) и домашние задания для желающих тренировать свой счёт;
- дома старшеклассника тоже можно напрячь регулярными тренировками (если в школе этого нет, например) - главное, чтобы ежедневно и небольшим объёмом.
Собственно, я уже разработал арифметический тренажёр для своих учеников, у которых наблюдаются вышеописанные проблемы, и внедрил. Если результаты будут такими, как я ожидаю, то со временем простые регулярные упражнения можно будет предлагать всем желающим научиться считать. Как с физическими упражнениями, которые используются желающими сбросить вес или подкачать свою физическую форму, арифметические упражнения могут помочь укрепить фундамент математического образования.
А на крепком фундаменте и к экзаменам, и даже к олимпиадам готовить можно.