Глядя новости или читая комментарии к ним, мы порой недоумеваем: «Есть в этом мире нормальные люди?!» Вроде должны быть, ведь нас много и в среднем мы наверняка нормальны. Но при этом мудрецы говорят, что каждый из нас уникален. А подростки уверены, что они-то уж точно отличаются от серой массы «нормальных людей» и ни на кого не похожи.
Этот канал математический, а поскольку математика является формализованным и объективизированным отражением нашего мышления, то любопытно, что математика может нам рассказать о нас самих.
А начнём мы несколько издалека — с многомерного арбуза
Рассмотрим классическую задачу об арбузе в пространствах с различной размерностью и зададимся целью выяснить, сколько чудесной сахарной мякоти нам достанется от этого огромного, крепкого и аппетитного арбуза, если, надрезав его, мы выяснили, что толщина его корки не превышает 15% от его радиуса? Кажется, что это многовато, но посмотрите на рисунок:
Пожалуй, арбуз с такими пропорциями мы сочтём вполне приемлемым. Рассмотрим сначала "одномерный арбуз", в виде розового столбика. Его корка представляет собой два маленьких белых отрезочка по краям, ее суммарная длина будет мерой (обобщённым объёмом) в одномерном мире и составит 15% от общей меры арбуза. У двумерного, блинообразного арбуза мера корки в виде площади белого кольца будет меньше, чем внутренняя часть, уже всего в три раза. В привычном нам трёхмерном мире такая корка составит почти 40% общего объёма. Чувствуете подвох?
Такую возрастающую роль границ мы уже встречали, когда рассматривали туристический закон подлости. Но тогда мы ограничились двумерным случаем, вполне естественным для топографических карт. Сейчас мы пойдём дальше.
Для шара, как, впрочем, и для тела произвольной формы, можно точно вычислить зависимость доли корки от общего объёма тела. Её легко получить и обобщить на произвольно многомерные пространства, воспользовавшись анализом размерности и общим понятием меры. Для сплошного тела в пространстве размерности m его мера, или обобщенный объём, пропорциональна степенной функции от характерного размера тела d:
Под знаком пропорциональности здесь скрывается некоторая константа, которая называется формфактором. Она зависит от формы тела и размерности пространства, но не зависит от размеров: для куба она равна 1, для шара того же размера выражается сложнее — через гамма-функцию и т. д. Ни конкретная форма, ни этот коэффициент для анализа нам не нужны, главное, чтобы тело было сплошным, то есть не относящееся к фрактальным (такие объекты отличаются от сплошных именно тем, что их обобщённый объём пропорционален их размеру в некоторой дробной степени, отличной от размерности вмещающего пространства).
С объёмом как с мерой мы разобрались, а что такое характерный размер? Мы можем сказать, что человек имеет характерный размер порядка метра, а муравей — миллиметра, а характерный размер нашей Галактики — 100 тысяч световых лет. Все эти объекты имеют весьма сложную форму, но когда мы говорим о характерных размерах, форма нас не интересует. Это понятие можно строго определить как среднее геометрическое размеров тела в разных направлениях или как диаметр шара, имеющего такой же объем, как и рассматриваемое тело.
Объём корочки равен следующей разнице:
а отношение объёма корки, составляющей долю δ от размеров тела, к общему объёму выражается так:
Как хорошо получилось — мы перешли от пропорциональности к точному равенству. Всё благодаря отношениям, в которых сократились неизвестные нам формфактор и размеры тела. Таким образом, полученное соотношение объёма корки и объёма тела универсально и годится для арбузов сколь угодно сложной формы.
Вот как выглядит график роста доли пятнадцатипроцентной по радиусу корочки арбуза в его объёме при дальнейшем увеличении размерности пространства:
Итак, сейчас мы готовы сформулировать глубокомысленный закон арбузной корки:
Покупая многомерный арбуз, ты приобретаешь в основном его корку.
Обидно, конечно, но какое это имеет отношение к нормальности нашего мира и законам подлости? Увы, именно этот закон препятствует отысканию так называемой золотой середины, обесценивает результаты социологических опросов и повышает роль маловероятных неприятностей.
Дело в том, что пространство людей со всеми их параметрами существенно многомерно. В качестве различных размерностей можно рассматривать и очевидные рост, вес, возраст и достаток, а также уровни интеллектуального (IQ ) и эмоционального (EQ ) развития; наконец, наблюдаемые, хоть и плохо формализуемые черты лица либо характера — такие как уровень болтливости, упрямства или влюбчивости — тоже относятся к нашим параметрам. Мы без труда насчитаем с десяток-полтора величин, характеризующих человека. И для каждого из этих параметров существует некая статистически определяемая «норма» — самое ожидаемое и, более того, часто наблюдаемое значение. Сколько же в таком богатом пространстве параметров окажется людей, типичных во всех отношениях? Выражение, которое мы использовали для определения отношения объёмов корки и арбуза, можно использовать и для вычисления вероятности попасть в число хоть в чём-то, но «ненормальных». Если мы сочтём все параметры независимыми (для некоторых пар параметров это может быть верно только приближённо), вероятность удовлетворить всем критериям типичности одновременно равна произведению вероятностей оказаться типичным по каждому критерию отдельно.
Полученная нами формула арбуза работает для любых, сколь угодно сложных форм, в том числе, не имеющих границы, подобно атмосфере Земли, уходящей далеко в космическое пространство, становясь всё тоньше. Так что нам не нужно знать, каким именно распределениям подчиняются обсуждаемые качества людей, остается лишь предположить, что у них есть среднее значение (а это, как мы увидим, бывает не всегда). Если обозначить как Pₒᵤₜ вероятность оказаться за пределами области, которую мы сочли бы нормой, то вероятность оказаться ненормальным в чем-нибудь при рассмотрении m критериев будет вычисляться по «арбузной» формуле:
Вот она — сила правильно выбранной модели! Толщину корки арбуза мы измеряли линейкой, попадание случайной величины в какой-нибудь диапазон — вероятностью. Какой бы малой ни была вероятность Pₒᵤₜ, значение P превысит 1/2 при
Для внесения хоть какой-то конкретики можно предположить, что параметры, о которых мы говорим, имеют нормальное распределение. Это вполне разумно для наших целей, ведь мы не говорим о каком-то конкретном наборе характеристик, а, прямо скажем, фантазируем, стараясь сформулировать хоть что-то определенное в столь зыбкой теме. Выбор нормального распределения адекватно отражает степень нашего неведения, и загружаться подробностями до тех пор, пока не видна самая общая картина, рановато. Итак, наш арбуз превратился в размытое туманное пятно, что не мешает нам вычислить долю его «корки». Для «хорошего» в каком-то смысле распределения за норму можно принять значения, не отклоняющиеся от среднего больше чем на величину стандартного отклонения. Для нормального распределения доля значений, выходящих за пределы нормы, имеет Pout = 16%, примерно как в рассмотренном нами реальном арбузе. Применительно к нашему нечёткому арбузу здесь имеется в виду вероятность оказаться на удалении в одно стандартное отклонение от среднего, как показано на рисунке. При более толерантном понимании нормы можно ограничиться двумя стандартными отклонениями, получив Pₒᵤₜ = 2,3%.
Что ж, выходит, это нормально — быть хоть в чем-то ненормальным. Оценивая людей по десятку параметров, будьте готовы к тому, что полностью заурядными окажутся лишь 2% общей популяции. Причем как только мы их разыщем, они тут же станут знаменитостями, утратив свою заурядность!
В погоне за Нормой
Нетипичность нормы и ментальные ошибки, к которым может привести попытка усреднения многопараметрических систем, подробно рассматриваются в книге Тодда Роуза «Долой среднее!». В частности, в ней приводится история времён начала Второй мировой войны. В попытке разобраться в причинах ошибок пилотов боевых самолётов командование ВВС США предприняло исследование, основной целью которого было уточнить средние характеристики летчиков. От этих параметров зависели конкретные инженерные решения по проектированию эргономики кабины. Считалось, что чем точнее будут известны эти характеристики, тем более эргономичной окажется разработанная на их основе техника.
Каково же было удивление молодого антрополога Гилберта Дэниэлса, которому поручили эту работу, когда выяснилось, что из четырёх тысяч обмеренных им пилотов не обнаружилось ни одного «среднего», для которого кабина самолёта оказалась бы удобной по всем параметрам. Всего использовалось 10 физических характеристик, и Дэниэлс придерживался очень строгого критерия «нормальности»: выходящим за пределы нормы считалось отклонение от среднего, превышающее 30% от всей выборки. Мы теперь можем вычислить, что для десяти параметров вероятность попасть в нормальные значения по таким критериям составит 0,0006% — 1 человек на 170 тысяч! В конце концов Дэниэлс пришел к заключению, опубликованному уже после войны: в реальности среднего пилота не существует. Если вы проектируете кабину для него, то она не подойдет ни для кого. Чтобы повысить эффективность солдат, в том числе летчиков, рекомендуются радикальные изменения: окружение должно соответствовать индивидуальным параметрам, а не средним.
Кроме того, Тодд Роуз приводит историю из мирной жизни. Газета Plain Dealer объявила конкурс среди женщин и девушек. Им предлагалось прислать параметры своего тела, и победить должны были те представительницы прекрасного пола, которые окажутся ближе всего к параметрам «типичной женщины» Нормы, увековеченной в статуе из медицинского музея Кливленда:
Норма родилась вследствие усреднения 15 000 женщин разного возраста и должна была олицетворять идеал, «определенный самой Природой». Всего рассматривалось девять параметров, и из 3864 конкурсанток ни одна не попала в средние значения. По пяти критериям «нормальными» оказались лишь 10% участниц, что дает нам возможность оценить использованную жюри «толщину корки» в 75%. С таким суровым подходом надеяться найти хотя бы один «идеал» в пространстве девяти измерений можно, лишь рассмотрев 260 тысяч красавиц. На всё человечество таких «идеальных» барышень наберётся от силы пара тысяч человек.
Далее Роуз отмечал: Дэниэлс и организаторы конкурса получили одинаковый результат, но сделали совершенно разные выводы. Большинство врачей и учёных того времени не сочли, что Норма представляет неправильный идеал. Наоборот: они решили, что большинство американских женщин нездоровы и не поддерживают нормальную форму. Одним из них был доктор Бруно Гебхард, директор медицинского музея Кливленда. Он сокрушался, что послевоенные женщины малопригодны к службе в армии, и упрекал их, ссылаясь на плохую физическую форму, в том, что они «плохие производители и плохие потребители». Дэниэлс говорил прямо противоположное: о том, что усреднение людей — ловушка, которая многих приводит к просчётам. Ведь почти невозможно найти среднего лётчика не в силу каких-то индивидуальных черт его группы, а из-за большого разброса параметров в размерах тела у людей.
Тот самый закон подлости
Один из классических законов подлости, сформулированный в сердцах инженером Эдвардом Мёрфи, гласит:
Все, что может пойти не так, пойдет не так.
Сейчас мы можем взглянуть на него не только иронично.
Пусть для выполнения некоторой работы требуется совершить ряд действий, и для каждого из них существует маленькая, но отличная от нуля вероятность неудачи. Какова вероятность того, что все задуманное пройдет без сучка без задоринки? Мы имеем дело с пересечением множества событий, каждое из которых соответствует успешному завершению того или иного этапа работы. Если события независимы, то в результате мы получим произведение вероятностей наступления каждого из них:
Но для нас важно, что вероятности по определению должны быть меньше единицы, а значит, мы вправе использовать закон арбузной корки: чем больше число шагов, тем существеннее роль границ. В нашем случае границами становятся нештатные ситуации. Достаточно дюжины шагов, чтобы средняя вероятность такой ситуации или ошибки в 5% на одном шаге выросла до вероятности провала всего дела!
Эти наши рассуждения чрезвычайно просты, а закон Мёрфи — скорее эмоции, чем объективность, да и в целом кажется трюизмом. Но всё же именно с этого наблюдения в сороковые-пятидесятые годы двадцатого века началась новая большая наука: теория надёжности. Она добавила в рассмотрение время, взаимосвязь элементов систем, экономику, а также человеческий фактор, и нашла применение за пределами инженерных наук: в экономике, теории управления и, наконец, программировании.
В связи с рассуждениями о вероятности пересечения множества событий может возникнуть интересный и непростой вопрос. Если вероятность определена как мера, то она должна обладать свойством аддитивности. Иначе говоря, мера целого должна быть суммой мер его частей. Но мы рассмотрели вероятность успеха для некого дела со множеством этапов и увидели другую картину: вероятность целого оказалась равна произведению вероятностей для его частей, а не сумме. Это соответствует свойству мультипликативности. Так аддитивна вероятность или мультипликативна? Тут следует различать вероятностное пространство, на котором вероятность играет роль аддитивной меры и в котором сложение целого из частей выполняется с помощью операции объединения событий, и фазовое пространство некоторой системы, содержащее все возможные её состояния. Фазовое пространство измеримо, но вероятность мерой в нём не является. Чтобы произошло событие, соответствующее попаданию системы в заданное состояние, все её составные части должны одновременно попасть в свои конкретные состояния — тогда возникнет пересечение соответствующих событий. Таким образом, вероятности этих событий перемножаются.
* * *
Продолжение темы и другие статьи о математических основах законов подлости: