Задача №151
В учебнике математики Е.Д. Войтяховского[1] «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1790 год), есть занимательная задача, связанная с расчетом прогрессии:
Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за другую— 2 копейки, за третью— 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.
Небольшое отступление. 1790 год приходится на период правления Екатерины II Алексеевны[2] (Екатерины Великой). Идет нескончаемая череда русско-турецких войн, к России присоединен Крым. Получивших ранения и увечья было во множестве. Что касается размера «вознаграждения», то для понимания покупательской способности денег в тот период приведу такие цифры: в начале правления Екатерины II пуд (16,38 кг) ржаной муки, например, стоил 8 копеек, пуд пшеничной муки – от 17 до 20 копеек. В 1790-ом пшеничную муку продавали уже по 30-40 копеек за пуд.
В задаче про "французскую мадам", изложенной в том же учебнике Е.Д. Войтяховского, есть информация о стоимости вещей в тот период.
Копейка 1795 года изготавливалась из меди и весила 5,12 грамма.
Для решения задачи условимся, что поскольку отчет ведется от копейки, то и мы при составлении уравнения будем использовать не 655 рублей 35 копеек, а 65 535 копеек.
Число ран выразим через х.
Вознаграждение выдавалось, как несложно заметить, исходя из следующей прогрессии:
1, 2, 2², 2³ и так далее до
Наше уравнение принимает вид:
Сумма n членов геометрической прогрессии (члены геометрической прогрессии — a) со знаменателем q≠1 равна частному от деления разности между произведением последнего члена на знаменатель прогрессии и первым членом на разность между знаменателем прогрессии и единицей.
В общем виде
После замены
через
формула принимает вид
В нашем случае знаменатель геометрической прогрессии равен q=2, первый член прогрессии a₁=1.
Имеем следующее уравнение:
Осталось подобрать значение х.
х = 16
Ответ: для получения обозначенного в задаче вознаграждения в размере 655 рублей 35 копеек, воин должен был получить 16 ран, да еще и суметь остаться в живых.
[1] Войтяховский Ефим Дмитриевич (1742 (1752) – 1812, а по другим источникам – 1822 г.) – Российский педагог-математик. Ученик Н. В. Верещагина. Кадровый военный, служил штык-юнкером артиллерии. Преподавал в Артиллерийском и инженерном шляхетном корпусе. В 1781 году открыл в Москве частную математическую школу. Автор пятитомного учебника «Теоретический и прикладной курс чистой математики» (1786—1790), который выдержал несколько изданий.
[2] Екатери́на II Алексе́евна, Екатери́на Вели́кая, урождённая Софи́я Авгу́ста Фредери́ка А́нгальт-Це́рбстская (1729 – 1796) – императрица и Самодержица Всероссийская (1762 – 1796). Племянница шведского короля Адольфа Фридриха. Двоюродная племянница прусского короля Фридриха Великого.