Квадратное уравнение - это уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - это числа, а x - это переменная. Квадратные уравнения могут быть решены тремя основными способами: факторизацией, использованием формулы квадратного уравнения и методом завершения квадрата.
1. Факторизация.
Факторизация - это процесс разложения выражения на произведение его множителей. Если квадратное уравнение может быть легко факторизовано, это самый простой и быстрый способ решения.
Пример: решим уравнение x^2 - 5x + 6 = 0.
1.Найдем такие два числа, которые в сумме дают -5 (коэффициент при x), а при умножении дают 6 (свободный член). Это числа -2 и -3.
2.Запишем уравнение в виде произведения: (x - 2)(x - 3) = 0.
3.Теперь у нас есть два возможных решения: x - 2 = 0 или x - 3 = 0. Решая эти уравнения, получаем x = 2 или x = 3.
2. Формула квадратного уравнения.
Если уравнение не может быть легко факторизовано, можно использовать формулу квадратного уравнения: x = [-
. __________
b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a).
Пример: решим уравнение 2x^2 - 3x - 2 = 0.
1.Подставим коэффициенты a, b и c в формулу:
. _________________
x = [3 ± √((-3)^2 - 4*2*(-2))] / (2*2).
2.Вычислим дискриминант (b^2 - 4ac): (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25.
3.Подставим дискриминант в формулу:
. ____
x = [3 ± √(25)] / 4 = [3 ± 5] / 4.
4.Получим два решения: x = (3 + 5) / 4 = 2 и x = (3 - 5) / 4 = -0.5.
3. Завершение квадрата.
Этот метод используется, когда уравнение не может быть легко факторизовано, и его использование удобнее, чем применение формулы квадратного уравнения.
Пример: решим уравнение x^2 + 6x + 5 = 0.
1.Перенесем свободный член в правую часть уравнения: x^2 + 6x = -5.
2.Добавим к обеим частям уравнения квадрат половины коэффициента при x: x^2 + 6x + (6/2)^2 = -5 + (6/2)^2.
3.Получим уравнение вида (x + p)^2 = q: (x + 3)^2 = -5 + 9.
4.Решим полученное уравнение: x + 3 = ± sqrt(4), откуда x = -3 ± 2. Получаем два решения: x = -1 и x = -5.
Все эти методы требуют практики для их освоения, но они позволяют решать любые квадратные уравнения.