1_Описанный, вписанный четырёхугольник
В треугольнике АВС окружность проходит через точки В и С и пересекает стороны АВ и АС в точках M и N соответственно. Отрезок MN касается окружности, вписанной в треугольник АВС. а) Докажите, что треугольники АBС и АNM подобны. б) Найдите MN, если АВ=7, АС=8, ВС=9.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/PvqjkZxYlHA5fw
Видео https://rutube.ru/video/febf5fa22711d0b7d70c033ec064b33c/?r=wd
2_Окружность. Параллелограмм. Свойство секущих
Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограмма АВСD, пересекает сторону ВС в точках В и М, а также пересекает продолжение стороны СD за точку D в точке N. а) Докажите, что АМ=АN. б). Найдите отношение CD : DN, если АВ : ВС = 1 : 3, а cos∠BAD=0,4.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/eJo3uQh1KGAcIQ
Видео https://dzen.ru/video/watch/65d336adbc38f76cd1e2d4e6?share_to=link
3_Равнобедренная трапеция. Вписанные окружности
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции АВСD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а). Докажите, что трапеция равнобедренная. б). Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания АN трапеции АВMN и вписанной в неё окружности.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/trUpRRrfpmumew
Видео https://rutube.ru/video/726e48085ffaace7a16119974b82ae28/?r=wd
4_Треугольник. Квадраты. Свойство медианы прямоугольного треугольника
На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АСDE и ВFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, H – точка пересечения прямых СМ и DK. А) Докажите, что CM перпендик. DK. б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника АВС равны 30 и 40.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/AFVw7pTvbnRmDA
Видео https://rutube.ru/video/4812c0bc3bbd09a44c40b583b94b5dcb/?r=wd
5_Треугольник. Квадраты. Теорема косинусов. Средняя линия треугольников
На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АСDE и BFKC. Точка М – середина стороны АВ. а) Докажите, что СМ= 1/2DK. б) Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС=6, ВС=10 и ∠АСВ=30⁰.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/kKClS8h7k5_CGQ
Видео https://rutube.ru/video/90788f2265a96342b6a9a2ef8a7a4039/?r=wd
6_Отношение площадей подобных треугольников
В каждый угол равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=16, АС=ВС=17, вписана окружность единичного радиуса, точки О₁, О₃ и О₃ центры этих окружностей. а) Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. б) Найдите площадь треугольника О₁О₃О
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/MxMzNhHQWOERbg
Видео https://rutube.ru/video/62e5f656a8c9f7bef69c2b5d3787e472/?r=wd
7_Две касающиеся окружности. Периметр трапеции
В прямоугольной трапеции АВСD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности. а). Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке Р. Докажите, что АР:РD=sinD б). Найдите периметр трапеции, если радиусы окружностей равны 4 и 1.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/d/Dgxt_R6Bkprpgw
Видео https://rutube.ru/video/9593bf384178f4cee52676a0490d360b/?r=wd
8_Окружность. Подобные треугольники. Расстояние от точки до прямой
В трапеции АВСD боковая сторона ВС перпендикулярна основанию СD. Окружность проходит через точки А и D и касается прямой ВС в точке М. а). Докажите, что АВF и FBK подобны, если F – точка пересечения прямой AD и прямой ВС, а ВК – высота треугольника АВF. б). Найдите расстояние от точки М до прямой АD, если АВ=5см, СD=4см.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/YRyy20Wvd_xJFg
Видео https://rutube.ru/video/f3b478ed4c2feeef939ebda013b4ba2a/?r=wd
9_Окружности. Хорды. Касательные
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. а) Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность. б) Найдите АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/u4l7xvhKP-ZYsA
Видео https://rutube.ru/video/bb950dbf593b7560d15a205b4a19e1d0/?r=wd
10_Теорема синусов. Теорема косинусов
Стороны ВС и СD квадрата являются сторонами равносторонних треугольников ВСМ и DCN соответственно, точки М и N лежат вне квадрата. Прямая АМ пересекает ВС в точке К. а). Докажите, что угол АМС равен 45. б). Найдите КN, если известна сторона квадрата √(8+3√3).
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/d/4-HD6h8atDyhow
Видео https://rutube.ru/video/569ad0e78fb7d1ac80d8abd4b7d11b89/?r=wd
11_a_Отношение площадей
В треугольнике АВС биссектриса АМ делит сторону ВС на отрезки ВМ и МС, которые относятся как 2:7 соответственно. Из точек В и М проведены параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно, причём AD:FC=3:14. а). Докажите, что АВ в 2 раза больше AD. б). Найдите площадь четырёхугольника DBMF, если О – точка пересечения BD и АМ и площадь треугольника ВАО равна 27.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/ZM9tJl9tbkt-8A
Видео https://rutube.ru/video/caa83083c21ee5d08b829ab37c1ca667/?r=wd
11_b_АК – биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно, причем AD:FC=3:14. А) Докажите, что АВ в 2 раза больше AD. Б) Найдите площадь четырехугольника DBKF, если Р – точка пересечения BD и AK и площадь треугольника АВР равна 27.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/d/9f0JnjnHwl-Yvw
Видео https://rutube.ru/video/2087ff54f27e7d38e3a6c755b94c7187/?r=wd
12_Первый признак подобия треугольников
В трапеции MNPQ (MQ и NP основания), точка Е есть точка пересечения диагоналей трапеции, A – точка пересечения сторон MN и PQ. а). Докажите, что MF=FQ и NK=KP, если точка F – точка пересечения АЕ с MQ, а К – точка пересечения АЕ с NP. б). Найдите площадь трапеции, если MQ:NP=3:2, MN=5 см, ∠NMQ=60⁰, MQ=12 см.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/uC0OPmw8h5d5yw
Видео https://rutube.ru/video/f94bbae3941c995a32c91de9941fcb9a/?r=wd
13_Вписанная окружность. Теорема косинусов
Окружность с центром О, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается гипотенузы АВ в точке М, а катета АС – в точке N, АС меньше BC. Прямые MN и CO пересекаются в точке К. а). Докажите, что угол СКN в два раза меньше угла АВС. б). Найдите ВК, если СВ=3√2. ВО, АО, СО – биссектрисы ΔАВС, ∠АСO= 45⁰.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/GokYq6YRw0Ibrg
Видео https://rutube.ru/video/08aa9244f15e249b6253965ecf395e00/?r=wd
14_Описанная окружность
Точка M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N. а) Докажите, что ∠CAN= ∠CMN. б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tg∠BAC = 4/3.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/dQEzT43Tl5lbGQ
Видео https://rutube.ru/video/3c7a43faaed7f9361324ce320e278465/?r=wd
15_Первый признак подобия треугольников
Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АBC, а BH – высота этого треугольника. а) Докажите, что углы ABH и CBO равны. б) Найдите BH, если AB=16, BC =18, BH=BO.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/Z3X6jPHWf2tfyw
Видео https://rutube.ru/video/f5e66d521388c222f472b6d3e410a917/?r=wd
16_Доказать, что параллелограмм прямоугольник
В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и AC равны соответственно 10, 8 и 6. А) Докажите, что ABCD – прямоугольник. Б) Найдите площадь параллелограмма ABCD.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/4gKR6jVEeDxDLw
Видео https://rutube.ru/video/c87a61a26157001dbbd9a9df0213bb65/?r=wd
17_Треугольник. Окружность. Площадь
Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину K, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A. Известно, что ML=9√3, KA : LB = 5 : 6. А) Найдите угол K треугольника KLM. Б) Найдите площадь треугольника KLM.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/f6lDpvClslHJHw
Видео https://rutube.ru/video/87d1d0220c529c684aa37b265db40e60/?r=wd
18_Описанная окружность
Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и АС в точках М и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке Р. Точка О – середина АР. а) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный. Б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что АМ=3, ВМ=9, АN=4.
Презентация https://disk.yandex.ru/d/cDDZTcecr9CUwg
Видео https://rutube.ru/video/cc5e0f9c4e2c4b93e7e9fd4fc209e276/?r=wd
19_a_Отношение площадей
На диагонали LN параллелограмма KLMN отмены точки Р и Q, причем LP=PQ=QN. А) Докажите, что прямые КР и KQ проходят через середины сторон параллелограмма. Б) Найдите отношение площади параллелограмма KLMN к площади пятиугольника MRPQS, где R – точка пересечения КР со стороной LM, S – точка пересечения KQ с MN.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/uA3ekkadTNVJJw
Видео https://rutube.ru/video/ff51ccc7ff24f7385410c3d961dcd4ec/?r=wd
19_b_Подобные треугольники. Площадь треугольника
Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р – середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, AD=2BC. А) Докажите, что точка Q – середина отрезка AR. Б) Найдите площадь треугольника APQ.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/KYxL9UWRv7H6aA
Видео https://rutube.ru/video/7792b1e3ad8d4de4b25f229d5c99f0ed/?r=wd
20_Окружности вписанные в угол
Окружность с центром О вписана в угол, равный 60 ⁰. Окружность большего радиуса с центром О₁ также вписана в этот угол и проходит через точку О. а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой. б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2√3.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/oWCxwT-_xFNSkQ
Видео https://rutube.ru/video/6c8e31645433115834782cc372555c5f/?r=wd
21_Трапеция. Два случая решения
Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами АВ=27, СD=28 и основанием ВС=5. Известно, что cos∠ВСD=–2/7 . а) Докажите, что расстояние от основания высоты, опущенной из вершины В на прямую АD, до вершины А равно 3. б) Найдите диагональ АС.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/d/v4nMdtI_N9ElQA
Видео https://rutube.ru/video/039bc98c42d2da4b6f134bc85d659677/?r=wd
22_Свойство прямоугольного треугольника
Дан прямоугольник ABCD. Окружность с центром в точке В и радиусом АВ пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Прямая МС пересекает прямую AD в точке К, а окружность во второй раз в точке F. А) Докажите, что DK=DF. Б) Найдите КС, если BF=20, DF=21.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/BNd-PBHS_vUvRg
Видео https://rutube.ru/video/ccedc2cade434e50a284dddf9ef4dd0b/?r=wd
23_Площадь треугольников имеющих равную высоту
Из вершин А и В тупоугольного треугольника АВС проведены высоты BQ и AH. Известно, что угол В – тупой, BC:CH=4:5, BH=BQ. А). Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника АВQ окружности в (3√6)/3 раз больше ВQ. Б) Найдите площадь четырехугольника AHBQ, если площадь треугольника HQC равна 25.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/B1dw6i2vRgNosQ
Видео https://rutube.ru/video/36f1924522685cd4cbb072533155607c/?r=wd
24_Окружность. Площадь треугольника
Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность радиуса 2 корень из 5, отсекающая от прямой ВС отрезок 4√5 и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки B проведен перпендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F. А) Докажите AF=BF. Б) Найдите площадь треугольника АВС, если BF=2.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/K_niKXjcFTrwGw
Видео https://rutube.ru/video/7d79d34495b450db5cbc6af929dd99bf/?r=wd
25_Теорема Менелая+доказательство
В треугольнике АВС точка D есть середина АВ, точка Е лежит на стороне ВС, причем BE= 1/3BC. Отрезки АЕ и СD пересекаются в точке О. А) Доказать, что AO/OE=3/2. Б) Найти длину стороны АВ, если АЕ=5, ОС=4, а угол АОС равен 120⁰.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/tzOmOZ95Mc-YMA
Видео https://rutube.ru/video/be6c094bc97d236501e2ddf753a5487b/?r=wd
26_Теорема Менелая. Подобие треугольников
Точка О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Угол АСВ равен 90⁰. а). Докажите, что угол АОВ равен 135⁰. б) Точка N – середина стороны АВ. Прямая NO пересекает сторону АС в точке К. Найдите отношение КС : АК, если ВС=24, АС=10.
🔎 Презентация (два способа) https://disk.yandex.ru/d/cJflQaoRIyDmqw
Видео (1 способ)
https://dzen.ru/video/watch/65dc99c715e35e7dc7373510?share_to=link
2 способ в презентации
© Презентации PowerPoint 2003. Е. М. Савченко, 2024
