В школьной математике, да и в целом в математике как науке, изучению фактического материала отводится не так много времени. Большее внимание уделяют принципам и методам решения.
С одной стороны, это разумно, так как «знание некоторых принципов легко возмещает незнание многих фактов».
С другой стороны, при решении задач мы используем не только общепринятые методы, но ещё предварительно должны понимать, когда и применять. А для этого нужно учится замечать какие-то интересные конструкции.
Например, формула косинуса тройного угла.
На невысоких уровнях подготовки она не нужна школьникам.
Для Технического уровня её полезно вывести, чтобы закрепить формулу косинуса суммы и вспомнить формулы двойных углов (которые, в свою очередь, уже нужно знать).
На Высокобалльном уровне нужно знать, что она есть и уметь стабильно её выводить.
Для тех, кто учится на олимпиадном Перечневом уровне, нужно уметь не только её выводить, но и знать её наизусть. Например, для того, чтобы разглядеть её при тригонометрической замене.
Посмотрите на уравнение 8x³-6x+√2=0.
Видите здесь косинус тройного угла? А разглядели бы, если бы не знали формулу для тройного угла? (подсказка: разделите уравнение на 2)
Есть общепризнанный фактический материал, которым школьники должны владеть.
Например, геометры Олимпиадного уровня прекрасно знают про пособие «Это должен знать каждый матшкольник» (Р. К. Гордин).
Или та же таблица умножения. После многократного использования в задачах она просто впечатывается в память. С какого-то момента мы не откладываем 7 раз по 5, а просто знаем, чему это равно.
ТУ заучивают в начальной школе.
Но многие простые вычислительные факты в школе не требуют запоминать, но мы всё равно их знаем.
Например, мы часто просто знаем, что 65=13 ⋅5, что трёхчлен x²+6x+9 является полным квадратом и знаем, какой следующий член в последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Достигается этот эффект благодаря тому, что некоторые факты настолько часто повторяются, что их проще запомнить.
В одной из прошлых статей мы обсуждали маркеры и индикаторы как элементы преподавательской матрицы.
Продолжим этот разговор.
В сегодняшней статье посмотрим, на какие факты стоит обращать внимание преподавателям и их ученикам.
1. Полные квадраты.
Когда школьники изучают таблицу умножения, им часто её показывают в виде таблицы Пифагора. В ней результат умножения двух чисел находится на пересечении соответствующего столбца и строки.
Второклассники легко замечают симметрию этой таблицы. И прекрасно видят на диагонали числа, которым нет пары. Поэтому квадраты однозначных чисел сразу выделяются и органично запоминаются.
В восьмом классе школьники знакомятся с корнями и учатся решать квадратные уравнения. Поэтому всё чаще в задачах нужно уметь видеть полные квадраты.
В дополнение к квадратам однозначных чисел, нужно выучить самые частые квадраты двузначных чисел: 11², 12², ..., 20². Далее можно выучить от 21² до 27² (последний вообще степень тройки, поэтому полезно его знать). И ещё можно отдельно выучить, чему равно 32²=1024=2¹⁰
2. Квадраты двучленов вида (x±n)².
На этапе знакомства с формулами сокращенного умножения, нужно обращать особое внимание на подобные выражения.
Для решения некоторых типов задач важно уметь выделять полный квадрат.
Сначала школьников честно нужно просить вычленять множитель 2 во втором слагаемом. Однако, нужно стремиться, чтобы они уже сразу видели, чего не хватает до полного квадрата двучлена.
Ученики должны почаще сталкиваться с такими выражениями:
x²+2x+1, x²+4x+4, x²+6x+9, x²+8x+16, x²+10x+25, x²+12x+36, x²+14x+49, x²+16x+64, x²+18x+81, x²+20x+100.
Кстати, в том числе и поэтому стоит со школьниками строить некоторые параболы через выделение полного квадрата и смещение, а не только через нахождение вершины. Это закрепляет их насмотренность на данные тройки коэффициентов.
Сюда же можно отнести и квадраты вида (nx+1)². Тройки коэффициентов здесь такие же.
3. Степени.
Нужно знать наизусть:
Степени двоек от 1 до 10;
Степени троек от 1 до 6;
Степени пятёрок от 1 до 4;
Степени шестёрок и семерок от 1 до 3;
Степени четверок, восьмёрок и девяток запоминаются в нагрузку к степеням двоек и троек.
Ученикам, начиная с Высокобалльного уровня можно показать куб и четвёртую степень для числа 11 в качестве интересного факта.
4. Треугольник Паскаля.
Школьники должны знать и узнавать коэффициенты после раскрытия скобок для выражения (a+b)ⁿ.
Лучше поначалу их запоминать для конструкции (x+1)ⁿ, чтобы не отвлекаться лишние степени:
(x+1)² = x²+2x+1 должны знать все школьники;
(x+1)³ = x³+3x²+3x+1 – Технический уровень и выше;
(x+1)⁴= x⁴+4x³+6x²+4x+1 – Высокобалльный и выше.
Остальные выучиваются по желанию.
На Перечневом уровне также полезно узнавать в задачах две конструкции:
x³+6x²+12x+8 = (x+2)³
x³+9x²+27x+27 = (x+3)³
5. Факториалы.
Олимпиадникам полезно знать значения 1!, 2!, ...., 8!
Особенно для изучения комбинаторики.
6. Разложение на множители чисел 1001 и 111.
1001 = 7⋅11⋅13
111 = 3⋅37
Это факты, которые иногда используются в некоторых нестандартных задачах 5-8 классов.
7. Пифагоровы тройки.
3,4,5 (египетский треугольник) – надо знать всем ;
5,12,13 – всем, начиная с Профильного уровня;
8,15,17 и 7, 24, 25 – всем, начиная с Технического уровня;
9, 40, 41 – по желанию.
Остальные целочисленные пифагоровы тройки используются редко.
Также желательно узнавать первую пифагорову тройку с точностью до множителя: 6,8,10 ; 9,12,15 ; 12,16,20 ; 15, 20, 25...
Возможно, ещё и вторую тройку, домноженную на два: 10,24,26.
Для Высокобалльного и Перечневого полезно видеть некоторые нецелочисленные тройки, в которые катеты целые, а гипотенуза нет. Особенное внимание нужно обратить на случаи, где один из катетов равен 1:
1, 2, √5
1, 3, √10
1, 4, √17
1, 5, √26
Заучивать их нет смысла, однако всегда полезно подмечать числа, которые близки к полным квадратам, но не являются таковыми. В этих примерах это числа вида n²+1: 5, 10, 17, 26 и т.д.
Полезно также выделить для себя то, как раскладываются ещё несколько чисел в сумму квадратов:
13 = 2² + 3²
29 = 2² + 5²
34 = 3² + 5²
Знание подобных троек помогает легко применять теорему, обратную теореме Пифагора.
8. Числа вида n(n+1).
Для уровня от Высокобалльного и выше нужно уметь узнавать и выделять для себя данные числа:
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132.
Они пригодятся сразу для нескольких сюжетов.
а) для квадратных уравнений вида x²±x-n(n+1)=0.
Корни можно найти по теореме Виета, т.к. они имеют разные знаки и их абсолютные значения отличаются на 1.
То есть квадратные уравнения x²+x-6=0, x²+x-42=0, x²-x-90=0 нужно научиться решать быстро и не задумываясь.
б) для 1/n(n+1) знать, что это равно 1/n - 1/(n+1).
Условную разность для дроби 1/20 = 1/4-1/5 в зависимости от задачи лучше видеть сразу.
в) для квадратов чисел оканчивающихся на 5.
(10n+5)² = 100n²+100n+25 = 100n(n+1)+25.
Отсюда легко вывести быстрое правило для подобных чисел: 75²=5625.
9. Последовательность Фибоначчи.
Первые десять членов для Перечневого и Олимпиадного уровня желательно знать.
10. Треугольник со сторонами 13, 14, 15.
Просто знать, что он есть. Очень красиво решается. Хороший пример для формулы Герона.
11. x²±5x+6=0
Желательно знать решение именно этого квадратного уравнения наизусть и выделять его для себя. Как-нибудь потом подробно объясню почему.
12. Уравнения вида nx²±(n²+1)x+n=0
Знать, что его решением будут n и 1/n (или им противоположные).
То есть на Перечневом уровне нужно видеть сразу решения уравнений:
2x²±5x+2 = 0
3x²±10x+3 = 0
4x²±17x+4 = 0
5x²±26x+5 = 0
6x²±37x+6 = 0
Первые два встречаются особенно часто.
Обратите внимание, что второй коэффициент равен n²+1, который мы встречали ранее.
Сюда же можно отнести два полезных часто встречающихся уравнения вида nx²±(n²-1)x-n=0:
2x²±3x-2 = 0 и 3x²±8x-3 = 0
13. Сумма чисел от 1 до n.
Часто при быстрых вычислениях можно использовать:
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
1+2+...+99+100 = 5050
Последняя задача – фольклорная.
Можно ещё с учениками разобрать сюжет с рулеткой и суммой чисел от 1 до 36.
Сумма чисел от 1 до n – это так называемые «треугольные числа», числа вида n(n+1)/2. Для общего развития можно тоже запомнить несколько первых членов этой последовательности. Но n(n+1) на практике полезнее.
Для треугольных чисел есть интересное свойство, связанное с суммой двух соседних членов. Факт красивый, можно запомнить.
14. Сумма чисел k-x степеней чисел от 1 до n.
Мы показали выше, что 1+2+....+ n = n(n+1)/2
Для Перечневого и Олимпиадного уровня нужно знать, что:
1²+2²+....+ n² = n(n+1)(2n+1)/6
1³+2³+....+ n³ = (1+2+....+ n)² = n²(n+1)²/4
а также технику их вывода.
15. Сумма степеней двоек.
Само собой нужно знать формулы для общего члена и суммы арифметитеской и геометриической прогрессию (включая бесконечно убывающую).
Однако, полезно знать ещё и конкретику:
1+2+2²+2²...+2ⁿ⁻¹+2ⁿ = 2ⁿ⁺¹-1
и 1/2+1/2²+1/2²+...+2ⁿ+.... = 1
И ещё некоторые факты, которые полезно знать и использовать в работе.
16. Отрицательный свободный член в квадратном уравнении.
Если в квадратном уравнении отрицательный свободный член, то у уравнения обязательно будут действительные корни.
Само собой требуется и условие на а>0. Но ведь вы же не решаете квадратные уравнения, когда у них первый коэффициент отрицательный?
Можно ученикам объяснить это графически или через вычисление дискриминанта.
17. Остатки для кубов и квадратов.
Квадраты чисел:
а) при делении на 3 и на 4 дают остатки 0 и 1;
б) при делении на 5 дают остатки 0, 1 и 4.
Кубы чисел:
а) при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6;
б) при делении на 9 дают остатки 0, 1 и 8.
16. sin2x и sinxcosx через sinx±cosx
(sinx±cosx)² = sin²x ± 2sinxcosx + cos²x = 1 ± 2sinxcosx = 1 ± sin2x
Это позволяет в симметричных тригонометрических уравнениях и неравенствах делать замену.
17. Сумма и разность тангенсов и котангенсов.
tgα+tgβ = sinα/cosα + sinβ/cosβ = (sinαcosβ+sinβcosα)/cosαcosβ = sin(α+β)/cosαcosβ
Подобные формулы можно вывести самому. Запоминать их не нужно, но факт того, что тангенсы и котангенсы полезно ставить рядом и преобразовывать, точно пригодится.
18. Всё про x²±x+1.
Полезно знать, что:
а) этот трёхчлен не имеет корней;
б) его минимум = 3/4, что пригодится для оценки;
в) это часть разложения суммы или разности кубов на множители;
г) x⁴-x²+1 = (x²-x+1)(x²+x+1);
д) благодаря симметрии полезно вынести за скобку х, то есть x²±x+1=x(x±1+1/x) и далее работать с известной конструкцией x+1/x.
Уверен, что у каждого преподавателя будут в копилке некоторые свои факты, которые они настоятельно рекомендуют знать своим подопечным.
Некоторые выводы по использованию фактического материала на занятиях:
а) Необязательно требовать от своих учеников заучивать их.
Достаточно просто при появлении важного факта указывать на него. Нужно направлять фокус учеников на подобные полезности, и с какого момента они уже будут просто про них знать.
б) При подборе задач лучше больше использовать те, в которых встречаются данные факты. Глаз школьника постепенно привыкнет к часто встречающимся случаям.
в) Можно проводить диагностики.
Объём известного фактического материала помогает примерно определить уровень подготовки ученика. Для каждого уровня важны свои факты.
Иногда, можно использовать косвенные признаки.
Например, если ученик не знает, чему равно 15² и 25², то он с высокой вероятностью не умеет правильно строить параболу.
г) Не нужно доводить до крайности и зарываться в факты.
Нет нужды знать, например, что 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Это красиво, но бесполезно.
Факты, которые мы обсудили выше, имеют весьма практичное применение. Самостоятельно отбирать их нужно тоже по принципу полезности для решения задач.
д) Некоторые факты являются мощными маркерами и индикаторами, которые сходу помогают понять, как нужно решать задачу.
Если эта тема будет интересна, то, возможно, в одной из следующих статей проведём практикум решения задач.