Сначала перечислим основные свойства тригонометрических функций:
1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1
2. tg(x) = sin(x) / cos(x)
3. ctg(x) = 1 / tg(x) = cos(x) / sin(x)
4. sin(-x) = -sin(x), cos(-x) = cos(x), tg(-x) = -tg(x)
5. sin(x + π) = -sin(x), cos(x + π) = -cos(x), tg(x + π) = tg(x)
6. sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), tg(x + 2π) = tg(x)
Теперь рассмотрим 5 примеров:
Пример 1: sin(x) = 0.5
Мы знаем, что sin(30°) = 0.5, поэтому x = 30° - это одно из решений. Но синус является периодической функцией, что означает, что она повторяется каждые 360°. Поэтому, другими решениями будут x = 30° + 360°n и x = 180° - 30° + 360°n, где n - любое целое число.
Пример 2: cos(x) = 0
Мы знаем, что cos(90°) = 0, поэтому x = 90° - это одно из решений. Но косинус также является периодической функцией, что означает, что она повторяется каждые 360°. Поэтому, другими решениями будут x = 90° + 360°n и x = 270° + 360°n, где n - любое целое число.
Пример 3: tg(x) = 1
Мы знаем, что tg(45°) = 1, поэтому x = 45° - это одно из решений. Но тангенс является периодической функцией, что означает, что она повторяется каждые 180°. Поэтому, другими решениями будут x = 45° + 180°n, где n - любое целое число.
Пример 4: sin^2(x) = 1/4
Это уравнение можно переписать как sin(x) = ±1/2. Мы знаем, что sin(30°) = 1/2 и sin(150°) = 1/2, поэтому x = 30° + 360°n и x = 150° + 360°n - это решения. Аналогично, sin(210°) = -1/2 и sin(330°) = -1/2, поэтому x = 210° + 360°n и x = 330° + 360°n - это также решения.
Пример 5: cos(2x) = 0
Мы знаем, что cos(90°) = 0, поэтому 2x = 90° + 360°n и 2x = 270° + 360°n. Тогда x = 45° + 180°n и x = 135° + 180°n - это решения.
В каждом из этих примеров мы использовали свойства тригонометрических функций для решения уравнений.