Задача №150
При решении задач мы часто сталкиваемся с тем, что напрямую «перевести» задачу на язык алгебры (см. Удивительный язык алгебры), то есть составить уравнение, невозможно. Для решения таких задач приходится искать особые пути.
Решите, например, такую старинную народную задачу:
Двое прасолов[1] продали принадлежащий им гурт[2] волов, получив при этом за каждого вола[3] столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили отару[4] овец по 10 рублей за овцу и еще одного ягненка. Отару решили разделить поровну. После дележа осталась одна лишняя овца. Один из прасолов взял себе лишнюю овцу, другой же взял себе ягненка и получил с товарища соответствующую доплату.
Вопрос: как велика была доплата, если известно, что она выражалась целым числом рублей?
Попытаемся составить уравнение на основе имеющихся данных.
Количество волов неизвестно. Вырученная сумма неизвестна. Количество купленных овец неизвестно.
Слишком много неизвестных.
Вернемся к самому началу задачи и выявим те данные, которые мы можем использовать для решения.
Прасолы продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов.
За продажу каждого вола было получено n рублей, при этом в гурте было n волов.
Значит стоимость всего гурта – точный квадрат:
n²
После дележа осталась одна лишняя овца. И, конечно же, остался ягненок, который был куплен в единственном экземпляре.
Это означает, что количество купленных овец нечетное.
Зная, что за каждую овцу уплачено по 10 рублей, можно уверенно сказать, что число десятков в уплаченной за отару сумме нечетное.
В переводе на уже «известную» нам сумму: n² имеет нечетное число десятков.
Далее нам необходимо найти цифру единиц в уплаченной сумме.
Если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
Докажем это утверждение. Обозначим в числе десятки через a, единицы обозначим через b.
Квадрат числа можно выразить как
или
В таком числе содержится (10a²+2ab) десятков и еще некоторое число десятков, заключающихся в b².
При делении (10a²+2ab) на 2 мы получаем четное число.
В нашем случае мы должны получить число нечетное, так как при дележе осталась одна овца.
Значит, нечетное число десятков должно содержаться в числе b².
b² – квадрат единиц, то есть это одно из чисел:0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. В данном ряду нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36, которые оканчиваются на 6.
Значит, точный квадрат 100a²+2ab+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Теперь легко можно получить ответ на поставленный в задаче вопрос. Ясно, что ягненок стоил 6 рублей. Прасол, получивший ягненка стоимостью шесть рублей, оказался в проигрыше на 4 рубля по сравнению с тем, кто получил овцу, стоившую 10 рублей. Для уравнивания долей он получил с товарища доплату в 2 рубля.
[1] Прасол – оптовый скупщик скота и прочих припасов (мясо, рыба) для перепродажи.
[2] В данном случае гурт – это стадо скота.
[3] Вол – сельскохозяйственное животное, крупный рогатый скот, использовавшийся как тягловое животное при распашке земли и транспортировке грузов.
[4] Отара – специфическое название для стада овец.